Ecuaciones cuadráticas

Con esta actividad analizarás la relación entre los datos y las incógnitas que se establecen en el enunciado de algunos problemas, para que mediante la modelación con una ecuación cuadrática se encuentre la solución a éstos.

Actividad final

A continuación se presentan seis problemas, debes leerlos con detenimiento e identificar los datos conocidos y desconocidos para establecer una relación entre ellos mediante una ecuación de segundo grado. Para hallar la relación entre los datos utiliza una tabla y regístralos en tu cuaderno. Se propone que resuelvas las ecuaciones cuadráticas con alguno de los métodos algebraicos expuestos. Al concluir escribe los datos en los recuadros correspondientes y da clic en Verificar para revisar tus resultados.

Problema 1. Los jugadores de un equipo de fútbol rentan un autobús por 8000 para asistir a un cuadrangular de fútbol a realizarse en la Paz, Baja California Sur. El costo del autobús se va a dividir en partes iguales entre los deportistas, posteriormente se unieron cinco jugadores más al equipo y esto redujo el costo por participante en 80. Determina el número de futbolistas que hicieron el viaje y el costo que pago cada uno.

Jugadores que viajaron (x)=

Costo por jugador (y)=

Procedimiento para obtener la ecuación cuadrática

Justificaciones

$xy=8000$ (1)

Ecuación costo del viaje

$(x+5)(y-80)=8000$ (2)

Ecuación costo de viaje al agregar 5 jugadores

$y=\frac {8000}{x}$

Despejar y de la ecuación 1

$(x+5)(\frac{8000}{x}-80)=8000$

Sustituir y en la ecuación 2

$(x)\begin{bmatrix} (x+5)(\frac{8000}{x}-80)=8000 \end{bmatrix}$

Multiplicar a los lados de la ecuación por x para eliminarla del denominador

$x(x+5)(\frac {8000}{x}-80)=8000x$

Realizando la multiplicación de los términos del corchete por x

$(x+5)(8000)-x(x+5)(80)=8000x$

Al multiplicar por $x(x+5)$ a los términos del segundo paréntesis y considerar que $\frac {x}{x}=1$ , se obtiene la expresión y se elimina x del denominador

$(x+5)(8000)-(x^2+5x)(80)=8000x$

Al realizar el producto del segundo paréntesis, se obtiene la expresión que se muestra, puesto que x solo afecta a uno de los factores restantes, en particular, (x+5)

$8000x+40000-80x^2-400x=8000x$

Al realizar los productos se obtiene la ecuación

$-80x^2+40000-400x=0$

Al restar 8000x a los lados de la ecuación y simplificar, se obtiene la ecuación cuadrática

$0=80x^2+400x-40000$

Pasando los términos del lado izquierdo de la ecuación al lado derecho con signo contrario

$x^2+5x-500=0$

Dividir la ecuación entre 80 para simplificar y facilitar la solución

Resolución de la ecuación por el método de tabulación

En el contexto del problema el número de futbolistas que realizaron el viaje (x) no puede ser negativo, por lo que para la tabulación de la ecuación cuadrática se consideran desde 0 hasta menores que 20, así como, mayores a 20, para estos rangos de valores se obtienen valores negativos y positivos, respectivamente, para x=20, la ecuación cuadrática se anula, esto significa que el número de futbolistas que viajaron al cuadrangular fueron 20, tal como puede apreciarse en la tabla, la cual puedes comprobar con un número mayor de datos de prueba en los rangos mencionados.

Futbolistas Ecuación cuadrática x²+5x-500

19 (19)²+5(19)-500=361+95-500=-44

20 (20)²+5(20)-500=400+100-500=0

21 (21)²+5(21)-500=441+105-500=46

Ahora para determinar el costo del viaje se utiliza la ecuación $y=\frac {8000}{x}$ y se sustituye en ésta x=20, dando como resultado $y=\frac {8000}{20} =400$ , es decir, cada futbolista pagó $400.

Por lo que la solución del problema es:

Número de futbolistas que realizaron el viaje fueron x=20

El costo por futbolista es de y=$400

Este problema también puede resolverse por fórmula general.

Futbolistas	Ecuación cuadrática x²+5x-500
19	(19)²+5(19)-500=361+95-500=-44
20	(20)²+5(20)-500=400+100-500=0
21	(21)²+5(21)-500=441+105-500=46

Problema 2. Un ejidatario necesita cercar un pastizal rectangular y dividirlo en tres partes mediante parcelas paralelas a uno de los lados para separar tres tipos de ganado, para ello tiene 800 metros de malla. Determina las dimensiones (largo y ancho) del pastizal cuya área es de $20000 m^2$ y escríbelos en los recuadros.

Largo del pastizal (x)=

Ancho del pastizal (y)=

Procedimiento la solución del problema

Justificaciones

$2x+4y=800$

Expresión algebraica para cercar el pastizal rectangular

$x+2y=400$

Dividir la ecuación entre 2 para simplificar y facilitar cálculos

$y=\frac{400-x}{2}$ (1)

Despejar y de la ecuación, para sustituir más adelante

$xy=20000$ (2)

Área del pastizal

$x\frac{(400-x)}{2}=20000$

Sustituir y de la ecuación 1 a la ecuación 2

$200x-\frac{x^2}{2}=20000$

Realizar operaciones

$400x-x^2=40000$

Multiplicar por 2 a la ecuación para eliminar \frac{1}{2}

$0=x^2-400x+40000$

Pasando los términos del lado izquierdo de la ecuación al lado derecho con signo contrario

$x^2-400x+40000=0$

Reorganizando la ecuación cuadrática

Solución de la ecuación cuadrática con el método de tabulación

En el contexto del problema el largo del rectángulo (x) no puede ser negativo, por lo que para la tabulación de la ecuación cuadrática se considera desde 0 hasta menores que 200, así como, mayores a 200, para estos rangos de valores se obtienen valores decrecientes y crecientes, respectivamente, para x=200, la ecuación cuadrática se anula, esto significa que la satisface, tal como puede apreciarse en la tabla, la cual puedes comprobar con un número mayor de datos de prueba en los rangos mencionados.

Largo Ecuación cuadrática x²-400x+40000

0 (0)²-400(0)+40000=0-0+40000=40000

100 (100)²-400(100)+40000=10000-40000+400000=10000

199 (199)²-400(199)+40000=39601-79600+400000=1

200 (200)²-400(200)+40000=40000-80000+400000=0

201 (201)²-400(201)+40000=40401-80400+400000=1

300 (300)²-400(300)+40000=90000-120000+40000=10000

Para obtener el valor del ancho del rectángulo y se sustituye el largo x=200 en la ecuación $y=\frac {400-x}{2}$ , es decir:

$y=\frac{400-200}{2}=\frac{200}{2}=100$

Por lo que las dimensiones del pastizal rectangular son:

Largo x=200 m, ancho = y=100 m y área = 20000 m²

Este problema también puede resolverse por fórmula general.

Largo	Ecuación cuadrática x²-400x+40000
0	(0)²-400(0)+40000=0-0+40000=40000
100	(100)²-400(100)+40000=10000-40000+400000=10000
199	(199)²-400(199)+40000=39601-79600+400000=1
200	(200)²-400(200)+40000=40000-80000+400000=0
201	(201)²-400(201)+40000=40401-80400+400000=1
300	(300)²-400(300)+40000=90000-120000+40000=10000

Problema 3. Un beisbolista golpea la esférica desde cierta altura H sobre el suelo con una velocidad inicial de $12 \frac {m}{s}$ con una dirección de $50°$ con la horizontal, la pelota tarda 2 segundos para hacer contacto con el suelo. Determina la distancia que recorrió la pelota y la altura sobre el suelo en la que fue golpeada. Escribe tus resultados en el recuadro. Expresa los resultados utilizando dos decimales.

Distancia que recorrió la pelota (x)=

Altura del suelo en la que fue golpeada (y)=

Procedimiento para obtener la ecuación cuadrática

$x=vcos(α)t$

Ecuación paramétrica componente horizontal

$x=12cos(50°)(2)$

Sustituir datos conocidos y realizar operaciones

$x=12(0.6427876097)(2)$

Valor de $cos(50°)=0.6427876097$

$x=15.42m$

Solución componente horizontal con dos decimales. Distancia que recorrió la pelota

$y=vsen(α)t-\frac {1}{2} gt^2+H$

Ecuación paramétrica componente vertical

$y=12sen(50°)(2)-\frac {1}{2} (9.8) (2)^2+H$

Sustituir datos conocidos

$y=12sen(50°)(2)-\frac {1}{2} (9.8) (2)^2+H$

Realizar operaciones

$y=12(0.7660444431)(2)-\frac {1}{2} (9.8) (2)^2+H$

Valor de $sen(50°)=0.7660444431$

$y=12(0.7660444431)(2)-4.9(4)+H$

Realizar operaciones y considerar 2 decimales

$0=-1.22+H$

La pelota llega al suelo en 2 segundos, $y=0$

$H=1.22m$

Altura de la pelota al ser golpeada. Se obtiene al despejar H

Problema 4. Con base en la figura, se tiene que el segmento IJ cumple con la razón de oro, su valor es $Ø=1.61803$ cm y la longitud del segmento $IK=8.16218$ cm . Determina la longitud del segmento KJ y escribe la opción correcta al recuadro correspondiente.

Problema 5. Raquel para mantenerse en buena forma física y mental, realiza cuatro semanas de abdominales en el mes de marzo, cada semana hace 15 abdominales más que la semana anterior. Si al multiplicar las abdominales de la primera y tercera semana da como resultado 400, determina el número de abdominales que lleva a cabo en las semanas mencionadas (semana 1, 2, 3 y 4). La respuesta escríbela en el recuadro.

Problema 6. Dentro de un bosque, un número de gorilas igual al cuadrado del octavo están jugando, los doce restantes están en una actividad seria. Determina el número de gorilas que se encuentran en el bosque. El resultado escríbelo en el recuadro de color rojo, solo tienes dos intentos.

Número de gorilas

X₁

X₂

$x=\left ( \frac{x}{8} \right )^2+12$

Expresión algebraica y desarrollo del cuadrado

$x=\frac {x^2}{64}+12$

Multiplicar por 64 a la ecuación para eliminarlo del denominador

$64(x=\frac {x^2}{64}+12)$

Ecuación resultante al multiplicarla por 64

$64x= \frac {64x^2}{64}+768$

Eliminar el paréntesis. Para ello multiplicar por 64 a los lados de la ecuación dentro del mismo

$64x=x^2+768$

Ecuación resultante al considerar $\frac{64}{64} = 1$

$0=x^2 -64x+768$

Reagrupar la ecuación cuadrática

$x = \frac {-(-64) \pm \sqrt {(-64)^2 - 4(1)(768)} } { 2(1)}$

Resolución de la ecuación con la fórmula general

$x = \frac {64 \pm \sqrt { 1024 } } { 2 }$

Realizando operaciones

$x=\frac {64\pm32}{2}$

Extrayendo la raíz cuadrada

$x_1=48$ , $x_2=16$

Soluciones de la ecuación cuadrática

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Actividad final

Ecuaciones cuadráticas

Actividad final

Procedimiento para obtener la ecuación cuadrática

Justificaciones

Procedimiento la solución del problema

Justificaciones

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Procedimiento para obtener la ecuación cuadrática:

Procedimiento para la solución del problema

Número de gorilas

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