Solución de la forma ${ax}^2+bx=0$
Para resolver esta forma se considerarán dos ecuaciones en las que se detallará el procedimiento de solución, observa que cada uno de los ejemplos responde a la forma ${ax}^2+bx=0$ , da clic en cada pestaña para revisarlos:
Solución de la ecuación $5x^2-20x=0$
Esta ecuación tiene la estructura de la forma ${ax}^2+bx=0$, ya que al sustituir los valores $a=5$ y $b=-20$ queda de la siguiente manera:
Como la suma de los términos del lado izquierdo de la ecuación es igual a cero y tienen como factor común la incógnita $x$, este tipo de ecuaciones pueden resolverse por medio de una factorización sencilla y utilizando la propiedad del producto nulo, es decir, la propiedad de cuando el producto de dos números es igual a cero.
Revisa el proceso dando clic en los números
$5x^2-20x=0$
$5x^2-20x=0$
$x(5x-20)=0$
Se factoriza el lado izquierdo de la ecuación, ya que $x(5x-20)=5x^2-20x$.
$5x^2-20x=0$
$x(5x-20)=0$
$x=0$ o $5x-20=0$
Como el producto de $x$ con $5x-20$ es cero, implica que cada uno de los factores puede ser cero.
Se tiene por tanto $x_1=0$
Solución 1, obtenida a partir de $x=0$.
$5x^2-20x=0$
$x(5x-20)=0$
$x=0$ o $5x-20=0$
De $5x-20=0$
Resolviendo la ecuación $5x-20=0$ se encuentra la segunda solución.
$5x^2-20x=0$
$x(5x-20)=0$
$x=0$ o $5x-20=0$
De $5x-20=0$
$5x-20+20=0+20$
Con la intención de despejar la variable $x$, se suma 20 a cada lado de la ecuación.
$5x=20$
Se simplifica la ecuación.
$5x^2-20x=0$
$x(5x-20)=0$
$x=0$ o $5x-20=0$
De $5x-20=0$
$5x-20+20=0+20$
$5x=20$
$\frac{5x}{5}=\frac{20}{5}$
Para continuar el despeje de la variable $x$ se divide entre 5 cada lado de la ecuación.
Se tiene por tanto $x_1=0$
Solución 1, obtenida a partir de $x=0$.
Por lo tanto $x_2=4$
Solución 2, obtenida a partir de $x=4$.
Comprobación
Para realizar la comprobación se sustituye cada una de las soluciones encontradas en la ecuación original y se verifica que se cumpla la igualdad:
Con $x=0$
$5x^2-20x=0$
$5{(0)}^2-20(0)=0$
$5(0)-0=0$
$0-0=0$
$0=0$
Con $x=4$
$5x^2-20x=0$
$5{(4)}^2-20(4)=0$
$5(16)-80=0$
$80-80=0$
$0=0$
Como se cumple la igualdad, las soluciones encontradas son correctas.
Una variante resumida del procedimiento anterior es la siguiente:
Se pueden hacer otras factorizaciones para resolver la ecuación $5x^2-20x=0$, por ejemplo:
$5x^2-20x=5x(x-4)$, por lo que la ecuación equivale a $5x(x-4)$.
Como el producto de los números $5x$ y $x-4$ es cero, implica que $5x=0$ o $x-4=0$.
De $5x=0$ se obtiene $x=\frac{0}{5}=0$ por lo que la solución 1 es $x_1=0$.
De $x-4=0$ se obtiene que la solución 2 es $x_2=4$
Estas son las mismas soluciones encontradas en el ejemplo anterior.
Solución de la ecuación $\frac{4}{3}x^2-7x=0$
Esta ecuación está compuesta por una fracción en el parámetro cuadrático, sin embargo, sigue presentando la misma estructura de la forma ${ax}^2+bx=0$, por lo que el proceso de solución es el mismo que el anterior como se verá a continuación:
Revisa el proceso dando clic en los números
$\frac{4}{3}x^2-7x=0$
$\frac{4}{3}x^2-7x=0$
$x(\frac{4}{3}x-7)=0$
Se factoriza el lado izquierdo de la ecuación, ya que $x(\frac{4}{3}x-7)=\frac{4}{3}x^2-7x$.
$\frac{4}{3}x^2-7x=0$
$x(\frac{4}{3}x-7)=0$
$x=0$ o $(\frac{4}{3}x-7)=0$
Ya que el producto de $x$ con $\frac{4}{3}x-7$ es cero, implica que cada uno de los factores puede ser cero.
Se tiene por tanto $x_1=0$
Solución 1, obtenida a partir de $x=0$.
$\frac{4}{3}x^2-7x=0$
$x(\frac{4}{3}x-7)=0$
$x=0$ o $(\frac{4}{3}x-7)=0$
De $\frac{4}{3}x-7=0$
Al resolver la ecuación se encuentra la otra solución.
$\frac{4}{3}x^2-7x=0$
$x(\frac{4}{3}x-7)=0$
$x=0$ o $(\frac{4}{3}x-7)=0$
De $\frac{4}{3}x-7=0$
$\frac{4}{3}x-7+7=0+7$
Sumando 7 a cada lado de la igualdad.
$\frac{4}{3}x=7$
Simplificando.
$\frac{4}{3}x^2-7x=0$
$x(\frac{4}{3}x-7)=0$
$x=0$ o $(\frac{4}{3}x-7)=0$
De $\frac{4}{3}x-7=0$
$\frac{4}{3}x-7+7=0+7$
$\frac{4}{3}x=7$
$\frac{\frac{4}{3}x}{\frac{4}{3}}=\frac{7}{\frac{4}{3}}$
Dividiendo entre $\frac{4}{3}$ cada lado de la ecuación.
$x=\frac{21}{4}$ por tanto $x_2=\frac{21}{4}$
Simplicando, se obtiene la solución 2.
Comprobación
Para efectuar la comprobación, se sustituye cada una de las soluciones encontradas en la ecuación original $\frac{4}{3}x^2-7x=0$ y se verifica que se cumpla la igualdad:
Para $x_1=0$
$\frac{4}{3}x^2-7x=0$
$\frac{4}{3}(0)^2-7(0)=0$
$\frac{4}{3}(0)-7(0)=0$
$0-0=0$
$0=0$
Para $x_2=\frac{21}{4}$
$\frac{4}{3}x^2-7x=0$
$\frac{4}{3}(\frac{21}{4})^2-7(\frac{21}{4})=0$
$\frac{4}{3}(\frac{441}{16})-(\frac{147}{4})=0$
$\frac{147}{4}-\frac{147}{4}=0$
$0=0$
Como se cumple la igualdad, las soluciones encontradas son correctas.