El coeficiente de $x$ se divide entre 2 y se eleva al cuadrado. Este resultado se ocupará en el siguiente paso.

${\left(\frac{b}{2a}\right)}^2$

El valor del paso 2, es decir ${\left(\frac{b}{2a}\right)}^2$ se suma y resta a los elementos que están entre los paréntesis del paso 1:

$a\left(x^2+\frac{b}{a}x+{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2-{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2\right)+c$

Ahora tenemos construido un trinomio cuadrado perfecto, es decir, cada término de la fracción se eleva al cuadrado:

$a\left(x^2+\frac{b}{a}x+{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2-{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2\right)+c$

Donde: $a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}\right)+c$

TCP en naranja

Multiplicamos el factor común a al término $-\frac{b^2}{4a^2}$, para sacarlo del paréntesis:

$a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}\right)-\frac{ab^2}{4a^2}+c$

Lo que queda en el paréntesis es el trinomio cuadrado perfecto

Al obtener las raíces cuadradas del primero y tercer término, el TCP se reduce a un binomio al cuadrado:

$a{\left(x^2+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{ab^2}{4a^2}+c$

Que al simplificar queda como:

$a{\left(x^2+\frac{b}{2a}\right)}^2+c-\frac{b^2}{4a}$

El coeficiente de $x$ se divide entre 2 y se eleva al cuadrado, el producto se realiza como lo indican las líneas, es decir, el producto de extremos entre el producto de medios. Este resultado se ocupará en el siguiente paso.

El valor del paso 2, es decir ${\left(\frac{13}{10}\right)}^2$, se suma y resta a los elementos que están entre los paréntesis del paso 1:

$5\left(x^2+\frac{13}{5}x+{\left(\frac{13}{10}\right)}^2-{\left(\frac{13}{10}\right)}^2\right)-6$

Ahora tenemos construido un trinomio cuadrado perfecto, es decir, cada término de la fracción se eleva al cuadrado:

$5\left(x^2+\frac{13}{5}x+\frac{{\left(13\right)}^2}{{\left(10\right)}^2}-\frac{{\left(13\right)}^2}{{\left(10\right)}^2}\right)-6$

TCP en naranja

Multiplicamos el factor común $a$ al término $-\frac{b^2}{4a^2}$, para sacarlo del paréntesis.

$5\left(x^2+\frac{13}{5}x+\frac{{\left(13\right)}^2}{({10}^2)}\right)-\frac{5{(13})^2}{{\left(10\right)}^2}-6$

Lo que queda en el paréntesis es el trinomio cuadrado perfecto

Al obtener las raíces cuadradas del primero y tercer término, el TCP se reduce a un binomio al cuadrado:

$5{\left(x^2+\frac{13}{10}\right)}^2-\frac{5{(13})^2}{{\left(10\right)}^2}-6$

Que al simplificar queda como:

$5{\left(x^2+\frac{13}{10}\right)}^2-\frac{845}{100}-6$

Donde:

$-\frac{845}{100}-6=-\frac{845}{100}-\frac{600}{100}=-\frac{1445}{100}$

Por lo tanto:

$5{\left(x+\frac{13}{10}\right)}^2-\frac{1445}{100}$

Por lo tanto, el polinomio original se puede expresar en términos de un TCP:

${5x}^2+13x-6=5{\left(x+\frac{13}{10}\right)}^2-\frac{1445}{100}$

El coeficiente que acompaña a $x$, se divide entre 2 y se eleva al cuadrado. Este resultado se ocupará en el siguiente paso:

${\left(\frac{4}{2}\right)}^2={\left(2\right)}^2$

Sumamos y restamos el cuadrado del resultado del paso 2:

$2(x^2+4x+(2)^2-(2)^2)-10$

$=2(x^2+4x+4-4)-0=0$

Ahora tenemos un trinomio cuadrado perfecto:

$2\left(x^2+4x+4-4\right)-0=0$

Multiplicamos por el factor común a=2 , al término -4, para sacarlo del paréntesis:

$2\left(x^2+4x+4\right)-2*4-10=$

$2\left(x^2+4x+4\right)-18=0$

Lo que queda dentro del paréntesis es el trinomio cuadrado perfecto:

$2\left(x^2+4x+4\right)-18=0$

Al obtener las raíces cuadradas del primer y el tercer término el TCP se reduce a un binomio al cuadrado:

$\ 2{(x+2)}^2-18=0$

Por lo tanto, la factorización del polinomio queda como:

Para resolver la ecuación cuadrática $2{(x+2)}^2-18=0$, se suma 18 a los lados de la ecuación:

$2{(x+2)}^2-18+18=0+18=18$

y al simplificalar se obtiene:

$2{(x+2)}^2=18$

Luego se tiene que dividir a los lados de la ecuación entre 2 para eliminar el factor 2 de la misma, es decir:

$\frac{2{\left(x+2\right)}^2}{2}=\frac{18}{2}$ que al simplificar queda como ${\left(x+2\right)}^2=9$

Para resolverla se extrae la raíz cuadrada a los dos lados de la ecuación, es decir:

$\sqrt{{(x+2)}^2}=\pm{}\sqrt{9}$ y al simplificarla se obtiene $x+2=\pm{}3$

Las soluciones de la ecuación cuadrática son:

$x_1=1$

$x_2=-5$

Comprobación

Para verificar que las soluciones encontradas son correctas, se sustituye cada solución en la ecuación original, solucionándola y corroborando que se cumpla la igualdad, como se muestra a continuación: