Solución de la forma $ax^2+c=d$
Para comprender mejor el proceso de solución de la forma $ax^2+c=d$ se muestran tres ejemplos de ecuaciones cuadráticas, las cuales tienen la estructura de este tipo de forma. Da clic en cada pestaña para revisar los ejemplos:
Solución de la ecuación $2x^2-18=0$
Esta ecuación particular corresponde a la forma $ax^2+c=d$ con los valores $a=2$, $c =-18$ y $d=0$, al sustituir estos valores se tiene $(2)x^2+(-18)=(0)$ dando como resultado $2x^2-18=0$.
En el proceso para despejar la incógnita x, se aplican las mismas operaciones que sean pertinentes a los dos lados de la ecuación para conservar la igualdad y obtener ecuaciones equivalentes, es decir, ecuaciones que tengan las mismas soluciones.
A continuación se muestra el proceso detallado para llegar a la solución:
Revisa el proceso dando clic en los números
$2x^2-18=0$
$2x^2-18=0$
$2x^2-18+18=0+18$
Sumar el parámetro independiente a los dos lados de la ecuación, que en este caso es 18.
$2x^2=18$
Simplificar la ecuación.
$2x^2-18=0$
$2x^2-18+18=0+18$
$2x^2=18$
$\frac{2x^2}{2}=\frac{18}{2}$
Dividir entre el parámetro del término cuadrático a ambos lados de la ecuación, que en este caso es 2.
$x^2=9$
Simplificar la ecuación.
$2x^2-18=0$
$2x^2-18+18=0+18$
$2x^2=18$
$\frac{2x^2}{2}=\frac{18}{2}$
$x^2=9$
$\sqrt{x^2}=\pm{}\sqrt{9}$
Extraer la raíz cuadrada a los dos lados de la ecuación, con valores positivo y negativo.
$x=\pm{}\sqrt{9}$
Simplificar la ecuación.
$2x^2-18=0$
$2x^2-18+18=0+18$
$2x^2=18$
$\frac{2x^2}{2}=\frac{18}{2}$
$x^2=9$
$\sqrt{x^2}=\pm{}\sqrt{9}$
$x=\pm{}\sqrt{9}$
$x=\pm{}3$
Simplificar los valores restantes.
$2x^2-18=0$
$2x^2-18+18=0+18$
$2x^2=18$
$\frac{2x^2}{2}=\frac{18}{2}$
$x^2=9$
$\sqrt{x^2}=\pm{}\sqrt{9}$
$x=\pm{}\sqrt{9}$
$x=\pm{}3$
$x_1=3$
Se obtiene la solución 1 , tomando el signo positivo.
$x_2=-3$
Se obtiene la solución 2 , tomando el signo negativo.
Para distinguir los dos valores de $x$ que se obtienen como solución de la ecuación, se le puede poner un subíndice a $x$:
$x_1=3$
$x_1=-3$
Comprobación
Para verificar que las soluciones encontradas son correctas, se sustituye cada solución en la ecuación original, al resolverla se corrobora que se cumpla la igualdad, como se muestra a continuación:
Para $x_1=3$
$2x^2-18=0$
$2({3)}^2-18=0$
$2(9)-18=0$
$18-18=0$
$0=0$
Para $x_2=-3$
$2x^2-18=0$
$2({-3)}^2-18=0$
$2(9)-18=0$
$18-18=0$
$0=0$
Como se cumple la igualdad, las soluciones encontradas son correctas.
Solución de la ecuación $3x^2+2=50$
Esta ecuación también responde a la forma $ax^2+c=d$, sólo que en este caso la ecuación se muestra con signo positivo, a diferencia del ejemplo 1 que se presentaba con signo negativo, pero como tiene la misma estructura el procedimiento es el mismo, a continuación se detalla:
Revisa el proceso dando clic en los números
$3x^2+2=50$
$3x^2+2=50$
$3x^2+2-2=50-2$
Con la finalidad de despejar el término cuadrático se resta 2 en ambos lados de la ecuación.
$3x^2=48$
Simplificar la ecuación.
$3x^2+2=50$
$3x^2+2-2=50-2$
$3x^2=48$
$\frac{{3x}^2}{3}=\frac{48}{3}$
Para continuar el despeje de la variable $x$ se divide entre 3 los dos lados de la ecuación.
$x^2=16$
Simplificar la ecuación.
$3x^2+2=50$
$3x^2+2-2=50-2$
$3x^2=48$
$\frac{{3x}^2}{3}=\frac{48}{3}$
$x^2=16$
$\sqrt{x^2}=\pm{}\sqrt{16}$
Extrae la raíz cuadrada a los dos lados de la ecuación, tomando los valores positivo y negativo de la raíz.
$x=\pm{}4$
Simplificar la ecuación.
$x_1=4$
Se obtiene la solución 1 , tomando el signo positivo.
$x_2=-4$
Se obtiene la solución 2 , tomando el signo negativo.
Comprobación
Se verifica que las soluciones encontradas sean correctas sustituyendo cada solución en la ecuación original 3x^2+2=50 y corroborando que se cumpla la igualdad:
Para $x_1=4$
$3x^2+2=50$
$3{(4)}^2+2=50$
$3(16)+2=50$
$48+2=50$
$50=50$
Para $x_2=-4$
$3x^2+2=50$
$3{(-4)}^2+2=50$
$3(16)+2=50$
$48+2=50$
$50=50$
Como se cumple la igualdad, las soluciones encontradas son correctas.
Solución de la ecuación $x^2+13=4$
Esta ecuación también responde a la forma $ax^2+c=d$ con los valores: $a=1$ , $c=13$ y $d=4$ , ya que al sustituir estos valores en éste se tiene $(1)x^2+(13)=(4)$ y resulta $x^2+13=4$.
Para despejar la incógnita $x$ se invierten las operaciones que contiene la ecuación, obteniendo ecuaciones equivalentes cada vez más simples hasta llegar a la solución.
En los números reales no existe raíz cuadrada de un número negativo, pero sí en los números complejos, donde $i=\sqrt{-1}$ es la unidad imaginaria, por ejemplo: $i=\sqrt{-4}=\sqrt{4(-1)}=(\sqrt{4})( \sqrt{-1})=(2)(i)=2i$.
Una ecuación de segundo grado puede no tener solución en los números reales, pero sí en los números complejos. Los números complejos son de la forma $z=a+bi$, donde $a$ y $b$ son números reales, $a$ es la parte real del número complejo y $b$ es su parte imaginaria. Un ejemplo de un número complejo es $z=3+2i$.
A continuación se muestra el procedimiento para resolver la ecuación $x^2+13=4$ la cual contiene en su solución números complejos, obsérvala con atención.
Revisa el proceso dando clic en los números
$x^2+13=4$
$x^2+13=4$
$x^2+13-13=4-13$
Con la intención de despejar el término cuadrático se resta 13 a los dos lados de la ecuación.
$x^2=-9$
Simplificar la ecuación.
$x^2+13=4$
$x^2+13-13=4-13$
$x^2=-9$
$\sqrt{x^2}=\pm{}\sqrt{-9}$
Se extrae la raíz cuadrada a los dos lados de la ecuación, tomando los valores positivo y negativo.
$x^2+13=4$
$x^2+13-13=4-13$
$x^2=-9$
$\sqrt{x^2}=\pm{}\sqrt{-9}$
$x=\pm{}3i$
Simplificando se obtiene una raíz imaginaria, ya que $\sqrt{-9}=\sqrt{(9)(-1)}=(\sqrt{9})(\sqrt{-1})=3 i$, con $i=\sqrt{(-1)}$.
$x_1=3i$
Se obtiene la solución 1 , tomando el signo positivo.
$x_2=-3i$
Se obtiene la solución 2 , tomando el signo negativo.
Comprobación
Para comprobar que las soluciones encontradas son correctas, se sustituye cada una en la ecuación original $x^2+13=4$ y se verifica que se cumpla la igualdad:
Para $x_1=3i$
$x^2+13=4$
$(3i)^2+13=4$
$(3)^2i^2+13=4$
$9i^2+13=4$
$9(\sqrt{-1})^2+13=4$
$9(-1)+13=4$
$-9+13=4$
$4=4$
Para $x_2=-3i$
$x^2+13=4$
$(-3i)^2+13=4$
$(-3)^2i^2+13=4$
$9i^2+13=4$
$9(\sqrt{-1})^2+13=4$
$9(-1)+13=4$
$-9+13=4$
$4=4$
Como se cumple la igualdad, las soluciones encontradas son correctas.