Problema razón de oro

Con base en la figura Razón de oro, el punto C divide al segmento $\bar{AB}$ en “media y extrema razón” cuando la parte mayor de esta división, el segmento $\bar{AC}$, es media proporcional entre el segmento total $\bar{AB}$, y el segmento de la parte menor $\bar{BC}$, es decir, en la proporción $\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{CB}$, el segmento $\bar{AC}$ se le llama media proporcional de los segmentos $\bar{AB}$ y $\bar{BC}$ y se le conoce como el “segmento áureo del segmento $\bar{AB}$”.

La razón de oro $(Ø)$, es el número irracional que proviene del segmento áureo $\bar{AC}$, por lo que satisface la proporción $\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{CB}$. A las razones que la forman se les conoce como la razón de oro.

Para familiarizarte con la razón de oro, considera la longitud de los segmentos $AB=12$,  $AC=7.41641$,  $CB=4.58359$ y obtengamos su valor. $\frac{AB}{AC}=\frac{12}{7.41641}=1.61803$, y $\frac{AC}{CB}=\frac{7.41641}{4.58359}=1.61803$, por lo que la razón de oro es $Ø=1.61803$ tomando cinco decimales.

Ahora se generaliza la razón de oro, considerando la longitud de los segmentos $AC=x$, $CB=1$ y $AB=x+1$. Cabe mencionar que no se pierde generalidad para determinar el valor de la razón áurea y en cambio, facilita la operatividad algebraica.

Por ser AC el segmento áureo del segmento AB satisface la proporción $\frac{x+1}{x}= \frac{x}{1}$, como en toda proporción el producto de los términos medios es igual al producto de los términos extremos, se obtiene la ecuación cuadrática $x+1=x^2$, y al agrupar sus términos al lado derecho de la ecuación resulta $x^2-x-1=0$, recordemos que al pasar un término al lado derecho o al lado izquierdo de la ecuación, se le suma el simétrico y se simplifica la ecuación. Al resolver la ecuación cuadrática con la fórmula general, se obtiene $x=\frac {1+ \sqrt {5}}{2}=1.61803$.