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Actividad final

Solución por trinomio cuadrado perfecto

Resolverás problemas de factorización de trinomios utilizando los procedimientos descritos en este objeto de aprendizaje.

Actividad final

Factoriza los siguientes trinomios (si es necesario, realiza la operación en tu cuaderno) y escribe los números en los espacios en blanco para completar la factorización. Al finalizar da clic en el botón Verificar para revisar la solución.

$3x^2+6x+6=$ 3 $(x+$ 1 $)^2+$ 3

Procedimiento

  1. Se saca el factor común $a=3$, de los términos con $x$: $$3\left(x^2+2x\right)+6$$
  2. Se divide entre 2 el coeficiente que acompaña a $x$ y se eleva al cuadrado. Este resultado se ocupará en el paso siguiente: $${\left(\frac{2}{2}\right)}^2={\left(1\right)}^2$$
  3. El resultado del paso anterior se suma y posteriormente se resta en ambos lados de la ecuación: $$3\left(x^2+2x+{\left(1\right)}^2-{\left(1\right)}^2\right)+6=3\left(x^2+2x+1-1\right)+6$$
  4. Ahora está construido un trinomio cuadrado perfecto: $$3\left(x^2+2x+1-1\right)+6$$
  1. Se multiplica por el factor común $a=3$, al término $-1$, para sacarlo del paréntesis: $$3\left(x^2+2x+1\right)+3*-1+6=3\left(x^2+2x+1\right)+3$$
  2. Dentro del paréntesis queda el trinomio cuadrado perfecto: $$3(x^2+2x+1)+3$$
  3. Al obtener las raíces cuadradas del primer y el tercer término, el TCP se reduce a un binomio al cuadrado: $$\ 3{(x+1)}^2+3$$
  4. Por lo tanto, la factorización del polinomio inicial queda como: $${3x}^2+6x+6=3{(x+1)}^2+3$$
Para verificar tu respuesta es necesarios que llenes todos los espacios en blanco.

$4x^2-16x-5=$4 $(x+$2 $)^2+$21

Procedimiento

  1. Se saca el factor común $a=4$, de los términos con $x$: $$4\left(x^2-4x\right)-5$$
  2. Se divide entre 2 el coeficiente que acompaña a $x$ y se eleva al cuadrado. Este resultado se ocupará en el paso siguiente: $${\left(\frac{4}{2}\right)}^2={\left(2\right)}^2$$
  3. El resultado del paso anterior se suma y posteriormente se resta en ambos lados de la ecuación: $$4\left(x^2-4x+{\left(2\right)}^2-{\left(2\right)}^2\right)-5=4\left(x^2-4x+4-4\right)-5$$
  4. Ahora está construido un trinomio cuadrado perfecto: $$4\left(x^2-4x+4-4\right)-5$$
  1. Se multiplica por el factor común $a=4$, al término $-4$, para sacarlo del paréntesis: $$4\left(x^2-4x+4\right)-4*4-5=4\left(x^2-4x+4\right)-21$$
  2. Dentro del paréntesis queda el trinomio cuadrado perfecto: $$4\left(x^2-4x+4\right)-21$$
  3. Al obtener las raíces cuadradas del primer y el tercer término, el TCP se reduce a un binomio al cuadrado: $$\ 4{(x-2)}^2-21$$
  4. Por lo tanto, la factorización del polinomio inicial queda como: $${4x}^2-16x-5=4{\left(x-2\right)}^2-21$$

$$3x^2-18x-28=0$$

3
55
3
3
55
3

Procedimiento

  1. Se saca el factor común $a=3$, de los términos con $x$: $$3\left(x^2-6x\right)-28=0$$
  2. Se divide entre 2 el coeficiente que acompaña a $x$ y se eleva al cuadrado. Este resultado se ocupará en el paso siguiente: $${\left(\frac{6}{2}\right)}^2={\left(3\right)}^2$$
  3. El resultado del paso anterior se suma y posteriormente se resta en ambos lados de la ecuación: $$3\left(x^2-6x+{\left(3\right)}^2-{\left(3\right)}^2\right)-28=3\left(x^2-6x+9-9\right)-28=0$$
  4. Ahora está construido un trinomio cuadrado perfecto: $$3\left(x^2-6x+9-9\right)-28=0$$
  5. Se multiplica por el factor común $a=3$, al término $-9$, para sacarlo del paréntesis: $$3\left(x^2-6x+9\right)+3*-9-28=3\left(x^2-6x+9\right)-55=0$$
  6. Dentro del paréntesis queda el trinomio cuadrado perfecto: $$3\left(x^2-6x+9\right)-55=0$$
  1. Al obtener las raíces cuadradas del primer y el tercer término, el TCP se reduce a un binomio al cuadrado: $$\ 3{(x-3)}^2-55=0$$
  2. Para resolver la ecuación cuadrática se suma 55 a los lados de la ecuación, es decir, $3{(x-3)}^2-55+55=0+55$, al simplificarla se obtiene: $\ 3{(x-3)}^2=55$
  3. Se divide entre 3 a los dos lados de la ecuación para eliminarlo de la misma, es decir. $\frac{3{(x-3)}^2}{3}=\frac{55}{3}$, y al simplificar resulta: $${\left(x-3\right)}^2=\frac{55}{3}$$
  4. Se extrae la raíz cuadrada a los lados de la ecuación para obtener las soluciones, es decir, $\sqrt{{\left(x-3\right)}^2}=\pm{}\sqrt{\frac{55}{3}}$, lo que resulta $x-3=\pm{}\ \sqrt{\frac{55}{3}}\ $luego las soluciones son:

    $x_1=3+\sqrt{\frac{55}{3}}$ $x_2=3-\sqrt{\frac{55}{3}}$

$$3x^2-18x+28=0$$

3
1
3
3
1
3

Procedimiento

  1. Se saca el factor común $a=3$, de los términos con $x$: $$3\left(x^2-6x\right)+28=0$$
  2. Se divide entre 2 el coeficiente que acompaña a $x$ y se eleva al cuadrado. Este resultado se ocupará en el paso siguiente: $${\left(\frac{6}{2}\right)}^2={\left(3\right)}^2$$
  3. El resultado del paso anterior se suma y posteriormente se resta en ambos lados de la ecuación: $$3\left(x^2-6x+{\left(3\right)}^2-{\left(3\right)}^2\right)+28=\3\left(x^2-6x+9-9\right)+28=0$$
  4. Ahora está construido un trinomio cuadrado perfecto: $$3\left(x^2-6x+9-9\right)+28=0$$
  5. Se multiplica por el factor común $a=3$, al término $-9$, para sacarlo del paréntesis: $$3\left(x^2-6x+9\right)+3*-9+28=3\left(x^2-6x+9\right)+1=0$$
  6. Dentro del paréntesis queda el trinomio cuadrado perfecto: $$3\left(x^2-6x+9\right)+1=0$$
  1. Al obtener las raíces cuadradas del primer y el tercer término, el TCP se reduce a un binomio al cuadrado: $$3{(x-3)}^2+1=0$$
  2. Para resolver la ecuación cuadrática se resta 1 a los lados de la ecuación, es decir, $3{(x-3)}^2+1-1=0-1$, al simplificar se obtiene: $3{(x-3)}^2=-1$
  3. Se divide entre 3 a los dos lados de la ecuación para eliminarlo de la misma, es decir, $\frac{3{(x-3)}^2}{3}=-\frac{1}{3}$, y al simplificar resulta: $${\left(x-3\right)}^2=-\frac{1}{3}$$
  4. Se extrae la raíz cuadrada a los lados de la ecuación para obtener las soluciones, es decir, $\sqrt{{\left(x-3\right)}^2}=\pm{}\sqrt{-\frac{1}{3}}$, lo que resulta $x-3=\ \pm{}\sqrt{-\frac{1}{3}}\ $ luego las soluciones son:

    $x_1=3+\sqrt{-\frac{1}{3}}$ $x_2=3-\sqrt{-\frac{1}{3}}$ estas raíces son complejas, puesto que la raíz cuadrada de un número negativo no existe.
Alumno: 
Matemáticas 2