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Problema áreas

Los problemas de tu entorno cotidiano relacionados con el cálculo de áreas pueden solucionarse con la modelación de una ecuación cuadrática. A continuación te mostramos cómo.

Problema. Los vacacionistas del hotel Mayan Palace tienen acceso al mar para refrescarse, para su seguridad los empleados del mismo delimitan con una cuerda con boyas un área rectangular de 600 metros cuadrados, considerando que el largo tiene 10 metros más que el ancho. Determina la longitud del ancho y del largo.

Para una mejor comprensión del problema se presenta su modelo geométrico y la relación entre los datos y las incógnitas mediante una ecuación de segundo grado y su resolución por el método de tabulación.

gráfica

Modelo geométrico:

Ancho = x-10
600 m2
Largo=x
Arrastra
  • x(x−10)=600
    o
    x2−10x−600=0
  • 600m2
  • largo x
  • ancho x - 10
  • ancho 10 menos que el largo
Datos conocidos Datos desconocidos Expresión matemática
para el área de un rectángulo

Las opciones correctas se han marcado en color verde, las incorrectas en color rojo.

Respuestas correctas:

respuestas

x=30

x – 10=20

Resolución de la ecuación cuadrática x2-10x-600=0, por el método de tabulación.

El método de tabulación para resolver ecuaciones cuadráticas consiste en la sustitución de valores de la incógnita que la satisfaga, es decir, que se cumpla la igualdad a 0. En particular para resolver la ecuación cuadrática x2-10x-600=0, consideramos valores para el largo del rectángulo y los sustituimos en la ecuación cuadrática, éstos deben ser positivos o en su defecto 0 ya que la longitud del rectángulo no puede ser negativa. Puedes comprobar que para valores comprendidos desde cero y menores que 30, el resultado de la ecuación es negativa y no tiene sentido en el contexto del problema, mientras que para valores mayores que 30, el resultado de la ecuación es positiva y para x=30, el valor de la ecuación es cero, esto quiere decir que la satisface y es la solución de la ecuación cuadrática, tal como, puede apreciarse en la tabla en la que se presentan algunos valores en los rangos especificados, así como, la longitud del largo que la resuelve.

Largo x

Ecuación cuadrática x2-10x-600

0

(0)2-10(0)-600=0-0-600=-600

29

(29)2-10(29)-600=841-290-600=-49

30

(30)2-10(30)-600=900-300-600=0

31

(31)2-10(31)-600=961-310-600=51

Por lo que las dimensiones del rectángulo son:

Largo x=30 m

Ancho = x-10=30-10=20 m

Área = x(x-10)=30(20)=600 m2

Cabe mencionar que además de la resolución de la ecuación cuadrática por el método de tabulación, también se puede resolver con la fórmula general, factorización y trinomio cuadrado perfecto.

Método tabular. Consiste en asignar valores a la incógnita x de la ecuación cuadrática ax2+bx+c=0 y comprobar que satisfacen a la ecuación mencionada. Por ejemplo, consideremos a la ecuación cuadrática 3x2−18x+24=0.

Incógnita x Ecuación cuadrática 3x2−18x+24=0
0 3(0)2−18(0)+24=24
1 3(1)2−18(1)+24=9
2 3(2)2−18(2)+24=0
3 3(3)2−18(3)+24=−3
4 3(4)2−18(4)+24=0
5 3(5)2−18(5)+24=9

Con base en la tabla se observa que los valores de la incógnita x que satisfacen a la ecuación cuadrática 3x2−18x+24=0, son x1=2 y x2=4.