Factorización del trinomio cuadrado perfecto
Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto deben estar ordenados los términos respecto a los exponentes de mayor a menor o inversamente y posteriormente es necesario:
- Extraer las raíces cuadradas del primero y último término.
- Para comprobar si la expresión es un trinomio cuadrado perfecto, se realiza el doble producto de las raíces.
- Si el resultado del producto es igual al segundo término del trinomio, entonces es cuadrado perfecto y su factorización es igual al cuadrado de una suma o diferencia de las raíces cuadradas del primero y último término.
Por ejemplo, para factorizar la expresión: $x^2+8x+16$ se realiza el siguiente procedimiento:
Revisa el proceso dando clic en los números
$x^2+8x+16$
$x^2+8x+16$
Se obtienen las raíces del primero y el último término.
Raíz cuadrada de $\sqrt{x^2}=x$
Raíz cuadrada de $\sqrt{16}=4$
$x^2+8x+16$
Raíz cuadrada de $\sqrt{x^2}=x$
Raíz cuadrada de $\sqrt{16}=4$
$2\bullet{}x\bullet{}4=8x$
Se observa que el doble del producto de los términos anteriores corresponde al segundo término.
$x^2+8x+16$
Raíz cuadrada de $\sqrt{x^2}=x$
Raíz cuadrada de $\sqrt{16}=4$
$2\bullet{}x\bullet{}4=8x$
Se toma el signo del segundo término del trinomio.
$x^2+8x+16={(x+4)}^2$
A continuación se muestran más ejemplos de la solución del TCP, da clic en cada pestaña para revisar la información:
Revisa el proceso dando clic en los números
$x^2+10x+25$
$x^2+10x+25$
Raíz cuadrada de $\sqrt{x^2}=x$
Raíz cuadrada de $\sqrt{25}=5$
Se obtienen las raíces del primer y el último término.
$x^2+10x+25$
Raíz cuadrada de $\sqrt{x^2}=$
Raíz cuadrada de $\sqrt{25}=5$
$2\bullet{}x\bullet{}5=10x$
Se corrobora que el doble del producto de los términos anteriores corresponda al segundo término.
$x^2+10x+25$
Raíz cuadrada de $\sqrt{x^2}=$
Raíz cuadrada de $\sqrt{25}=5$
$2\bullet{}x\bullet{}5=10x$
$x^2+10x+25={(x+5)}^2$
Se toma el signo del segundo término del trinomio.
Para comprobar que la expresión resultante sea un TCP, se considera el cuadrado del binomio resultante y se multiplica por sí mismo. Es decir, si tenemos como resultado al binomio $(a + b)^2$, para comprobar se realiza el producto $(a + b) (a + b)$, lo que nos da como resultado un trinomio. Para ello, se realizan los siguientes pasos para el desarrollo del binomio $(a+b)^2$:
- Se obtiene el cuadrado del primer término del binomio: $a^2$.
- Se considera el signo del binomio: (+).
- Se obtiene el doble del producto del primer término por el segundo $2ab$.
- Se suma el cuadrado del segundo término: $b^2$.
Para comprobar el binomio $(x+5)^2$ se consideran los pasos anteriores:
- El cuadrado del primer término:
$x =$ $x^2$ - Se considera el signo del binomio: (+)
- El doble producto del primer término por el segundo es
$2\left(x\right)\left(5\right)$ $10x$ - Al sumar el cuadrado del segundo término que es 5, da como resultado 25
-
Por lo que el trinomio cuadrado perfecto es:
${\left(x+5\right)}^2=x^2+10x+25$
De manera similar podríamos tener el binomio:
$(x$-$5)^2=x^2$-$10x+25$
La diferencia entre ambos es el signo del binomio
Revisa el proceso dando clic en los números
${49x}^2+14x+1$
${49x}^2+14x+1$
Raíz cuadrada de $\sqrt{{49x}^2}=7x$
Raíz cuadrada de $\sqrt{1}=1$
Se obtienen las raíces del primer y el último término.
${49x}^2+14x+1$
Raíz cuadrada de $\sqrt{{49x}^2}=7x$
Raíz cuadrada de $\sqrt{1}=1$
$2\bullet{}7x\bullet{}1=14x$
Se corrobora que el doble del producto de los términos anteriores corresponda al segundo término.
${49x}^2+14x+1$
Raíz cuadrada de $\sqrt{{49x}^2}=7x$
Raíz cuadrada de $\sqrt{{49x}^2}=7x$
$2\bullet{}7x\bullet{}14x$
${49x}^2+14x+1={(7x+1)}^2$
Se toma el signo del segundo término del trinomio.
Siguiendo los pasos para la comprobación se puede verificar que es un trinomio cuadrado perfecto:
- ${\left(7x+1\right)}^2$
- Se considera el signo del binomio: (+)
- Al sumar el cuadrado del segundo término que es 1, da como resultado 1
- El cuadrado del primer término:
$x =$ $49x^2$
- El doble producto del primer término por el segundo es
$2\left(x\right)\left(7\right)=$ $14x$
-
Por lo que el trinomio cuadrado perfecto es:
${\left(7x+1\right)}^2={49x}^2+14x+1$
De manera similar podríamos tener el binomio:
$(7x$-$1)^2=49x^2$-$14x+1$
La diferencia entre ambos es el signo del binomio
Revisa el proceso dando clic en los números
${81x}^2-180x+100$
${81x}^2-180x+100$
Raíz cuadrada de $\sqrt{81x}^2=9x$
Raíz cuadrada de $\sqrt{100}=10$
Se obtienen las raíces del primer y el último término.
${81x}^2-180x+100$
Raíz cuadrada de $\sqrt{81x}^2=9x$
Raíz cuadrada de $\sqrt{100}=10$
$2\bullet{}9x\bullet{}10=180x$
Se corrobora que el doble del producto de los términos anteriores corresponda al segundo término.
${81x}^2-180x+100$
Raíz cuadrada de $\sqrt{81x}^2=9x$
Raíz cuadrada de $\sqrt{100}=10$
$2\bullet{}9x\bullet{}10=180x$
${81x}^2-180x+100={\left(9x-10\right)}^2$
Se toma el signo del segundo término del trinomio.
Siguiendo los pasos para la comprobación se puede verificar que es un trinomio cuadrado perfecto:
- ${\left(9x-10\right)}^2$
- Se considera el signo del binomio: (-)
- Al sumar el cuadrado del segundo término que es 1, da como resultado 100
- El cuadrado del primer término:
$x=$ ${81x}^2$
- El doble producto del primer término por el segundo es
$2\left(x\right)\left(10\right)(9)=$ $-180x$
-
Por lo que el trinomio cuadrado perfecto es:
${\left(9x+10\right)}^2={81x}^2-180x+100$
De manera similar podríamos tener el binomio:
$(9x$+$10)^2=81x^2$+$180x+100$
La diferencia entre ambos es el signo del binomio