Fórmula general

Con estas actividades podrás resolver ecuaciones de segundo grado utilizando la fórmula general.

Actividad final

Esta actividad consta de dos partes. Haz clic en cada una de ellas y lee cuidadosamente las instrucciones.

Parte 1
Parte 2

Analiza detenidamente la solución que se presenta a cada ecuación cuadrática y señala si es verdadera o falsa.

1. Tenemos la siguiente ecuación cuadrática: $x^2-3x+2=0$

Los coeficientes en este caso son $a=1$ , $b=-3$ , $c=2$

$x=\frac{-b\pm{}\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Sustituyendo los coeficientes en la fórmula general:

$x=\frac{-(-3)\pm{}\sqrt{{(-3)}^2-4(1)(2)}}{2(1)}$

$x_1=\frac{3+\sqrt{1}}{2(1)}=\frac{3+1}{2}=2$

$x_2=\frac{3-\sqrt{1}}{2(1)}=\frac{3-1}{2}=1$

Por lo tanto, la solución de la ecuación es:

$x_1=2$

$x_2=1$

¿Esta solución es verdadera?

Verdadero
Falso

2. Tenemos la siguiente ecuación cuadrática: ${4x}^2+12x+9=0$

Los coeficientes en este caso son $a=4$ , $b=12$ , $c=9$

$x=\frac{-b\pm{}\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Sustituyendo los coeficientes en la fórmula general:

$x=\frac{-(12) \pm \sqrt{(12)^2-4(4)(9)}} {2(4)}$

$x_1=\frac{12+\sqrt{0}}{8}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$

$x_2=\frac{12+\sqrt{0}}{8}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$

Por lo tanto, la solución de la ecuación es:

$x_1=\frac{3}{2}$

$x_2=\frac{3}{2}$

¿Esta solución es verdadera?

Verdadero
Falso

La respuesta correcta es Falso, porque la solución de la ecuación es:

$x=\frac{-(12) \pm \sqrt{(12)^2-4(4)(9)}} {2(4)}$

$x_1=\frac{-12+\sqrt{0}}{8}=\frac{-12}{8}=-\frac{3}{2}$

$x_2=\frac{-12+\sqrt{0}}{8}=\frac{-12}{8}=-\frac{3}{2}$

Por lo tanto, la solución de la ecuación es:

$x_1=-\frac{3}{2}$

$x_2=-\frac{3}{2}$

3. Tenemos la siguiente ecuación cuadrática: $2x^2+x+3=0$

Los coeficientes en este caso son $a=2$ , $b=1$ , $c=3$

$x=\frac{-b\pm{}\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Sustituyendo los coeficientes en la fórmula general:

$x=\frac{-(1)\pm{}\sqrt{{(1)}^2-4(2)(3)}}{2(2)}$

$x_1=\frac{-1+\sqrt{-23}}{4}$

$x_2=\frac{-1-\sqrt{-23}}{4}$

Como el resultado presenta raíces negativas, no tiene una solución en los números reales.

¿Esta solución es verdadera?

Verdadero
Falso

Lee atentamente cada pregunta, si es necesario resuelve la operación en tu cuaderno y luego elige la respuesta que consideres correcta.

1. ¿Cuánto vale el discriminante de la siguiente ecuación? $(x–3)(x+2)+5=0$

7
5
9
-3

La respuesta correcta es 5 porque se expande la expresión y se agrupa para encontrar los parámetros de la fórmula general de segundo grado:

$(x–3)(x+2)+5=0$

$(x^2–3x+2x-6)+5=0$

$(x^2–x-6)+5=0$

$x^2–x-1=0$

Los parámetros de la ecuación son: $a=1$ , $b=-1$ y $c=-1$ , el cálculo del discriminante es:

$d={(-1)}^2-4(1)(-1)=1+4=5$

2. ¿Cuánto vale el discriminante de la siguiente ecuación? $(x+3)(x+2)+1=0$

7
5
9
-3

La respuesta correcta es -3 porque se expande la expresión y se agrupa para encontrar los parámetros de la fórmula general de segundo grado:

$(x+3)(x+2)+1=0$

$(x^2+3x+2x+6)+1=0$

$(x^2+5x+6)+1=0$

$x^2+5x+7=0$

Los parámetros de la ecuación son: $a=1$ , $b=5$ y $c=7$ , el cálculo del discriminante es:

$d={(5)}^2-4(1)(7)=25-28=-3$

3. ¿Cuánto vale el discriminante de la siguiente ecuación? $(x-3)(x+3)+9 = 0$

1
-4
0
-2

La respuesta correcta es 0 porque se expande la expresión y se agrupa para encontrar los parámetros de la fórmula general de segundo grado:

$(x-3)(x+3)+9=0$

$(x^2-3x+3x-9)+9=0$

$(x^2-9)+9=0$

$x^2=0$

Los parámetros de la ecuación son: $a=1$ , $b=0$ y $c=0$ , el cálculo del discriminante es:

$d={(0)}^2-4(1)(0)=0-0=0$

4. Para las ecuaciones cuadráticas de la forma $x(x-r)=0$ , se puede afirmar del discriminante que:

Siempre es mayor que cero
Siempre es igual a cero
Siempre es menor que cero
Puede tomar cualquier valor

Por la forma de la ecuación las soluciones son $x_1=0$ y $x_2=r$ , por definición para tener dos soluciones reales el valor del discriminante debe ser positivo. Comprobando a través de la fórmula general:

$x(x-r)=0$

$x^2-rx=0$

Los parámetros de la ecuación son: $a=1$ , $b=r-$ y $c=0$ ; el cálculo del discriminante es:

$d=r^2-4(-r)(0)=r^2+0=r^2$

5. ¿Qué valores puede tomar el discriminante en ecuaciones basadas en un binomio cuadrado perfecto ${(x-r)}^2=0$ ?

Siempre es mayor que cero
Siempre es igual a cero
Siempre es menor que cero
Puede tomar cualquier valor

Por la forma de la ecuación, las soluciones son iguales, son $x_1=x_2=r$ . Por definición, para tener dos soluciones iguales, el valor del discriminante es cero. Comprobando a través de la fórmula general:

${(x-r)}^2=0$

$x^2-2rx+r^2=0$

Los parámetros de la ecuación son: $a=1$ , $b=-2r$ y $c=r^2$ , el cálculo del discriminante es:

$d={(2r)}^2-4(1)(r^2)={4r}^2-{4r}^2=0$