Razón de cambio entre dos variables que están relacionadas
Siguiendo con el ejemplo de “El boleto del metro”, si observas las últimas dos columnas de la siguiente tabla, los resultados finales no cambian, por lo tanto, cualquiera de estas regularidades nos llevará a obtener una expresión matemática que modele la relación entre las variables $x$ e $y$.
| Cantidad de boletos $x$ | Dinero por pagar $y$ | $\frac{x}{y}$ | $\frac{y}{x}$ |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | No se puede pagar nada si no hay boletos que comprar. | No se puede pagar nada si no hay boletos que comprar. |
| 1 | 5 | $\frac{1}{5} = 0.2$ | $\frac{5}{1} = 5$ |
| 2 | 10 | $\frac{2}{10} =\frac{1}{5} = 0.2$ | $\frac{10}{2} = 5$ |
| 3 | 15 | $\frac{3}{15} =\frac{1}{5} = 0.2$ | $\frac{15}{3} = 5$ |
| 4 | 20 | $\frac{4}{20} =\frac{1}{5} = 0.2$ | $\frac{20}{4} = 5$ |
| 5 | 25 | $\frac{5}{25} =\frac{1}{5} =0.2$ | $\frac{25}{5} = 5$ |
De esta forma representamos la relación entre la variable dependiente ($y$) y la variable independiente ($x$), puesto que el dinero por pagar depende de la cantidad de boletos comprados.
$\frac{y}{x}$ siempre vale $5 ... (1)$
Consideremos de aquí en adelante únicamente la ecuación (1) esto es:
$$\frac{y}{x}= 5...(1)$$
Donde $x$ representa los boletos comprados, e $y$ representa el dinero a pagar.
Si despejas la variable independiente $x$ de la ecuación (1), multiplicando ambos lados de la ecuación por $x$:
$$\left ( x \right )\frac{y}{x}=5 \left ( x \right )$$
$$y=5x...(2)$$
La ecuación (2) te permitirá calcular la cantidad de dinero que hay que pagar por determinada cantidad de boletos.
Ahora despeja $x$ de la ecuación (2):
$$y=5x$$
Divide entre 5 ambos lados de la ecuación:
$$\frac{y}{5}= \frac{5x}{5}$$
$$x= \frac{y}{5} ...(3)$$
La ecuación (3) te permitirá calcular el número de boletos obtenidos dependiendo de la cantidad de dinero que pagaste.
| Cantidad de boletos $x$ | Dinero por pagar $y$ | $x= \frac{y}{5}$ |
|---|---|---|
| 0 | 0 | No se puede pagar nada si no hay boletos que comprar. |
| 1 | 5 | $\frac{5}{5}= 1$ |
| 2 | 10 | $\frac{10}{5}= 2$ |
| 3 | 15 | $\frac{15}{5}= 3$ |
| 4 | 20 | $\frac{20}{5}= 4$ |
| 5 | 25 | $\frac{25}{5}= 5$ |