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Leyes de los radicales

En este apartado aplicarás los aprendizajes que lograste sobre la potenciación y la radicación, así como, la operatividad con estas operaciones, para facilitarte el descubrimiento de regularidades de la operatividad con radicales y la formulación de sus leyes. Para ello, se te presentan diversos recursos GeoGebra que te permitirán la exploración de las diferentes posibilidades para la obtención de raíces y su operatividad y aplicación en la resolución de problemas.

Da clic en cada pestaña para revisarlos

El producto de las raíces n-enésimas de dos radicandos, es igual al producto de la n enésima raíz de éstos, es decir: $\sqrt[n]{a}\bullet{}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$.

En el siguiente escenario puedes comprobar cómo ocurre esto para valores particulares de los radicales que se presentan en el escenario, con base en éstos te permitirá la generalización de la ley mencionada considerando el radicando como cualquier número real.

geogebra

Da clic en 1ª Ley de los radicales para ir al recurso GeoGebra.

Con el recurso GeoGebra comprendiste que al arrastrar los deslizadores se obtuvieron radicales con el mismo índice, lo que te permitió la formulación de la primera ley de los radicales:

$$\sqrt[n]{a}\bullet{}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$$

Ahora esta ley la generalizarás para radicandos con cualquier número real y la aplicarás en la obtención de la raíz.

Practicando

A continuación se te presentan algunos ejemplos de cómo se determina la n-enésima raíz, con base en éstos determina la raíz que se especifica en la tabla. Al final da clic en Verificar para recibir retroalimentación.

Completa la tabla para recibir retroalimentación.
$a$ $b$ $n$ $\sqrt[n]{a}$ $\sqrt[n]{b}$ $\sqrt[n]{b}$ $\sqrt[n]{ab}$
$4$ $9$ $2$ $\sqrt[2]{4}= 2$ $\sqrt[2]{9}=3$ $\sqrt[2]{4}\cdot \sqrt[2]{9}$ $\sqrt[2]{36}$
$\sqrt[2]{4}\cdot \sqrt[2]{9}=2\cdot 3=6$, también $\sqrt[2]{36}=6$, por lo que $\sqrt[2]{4}\cdot \sqrt[2]{9}=\sqrt[2]{36}$
$27$ $64$ $3$ $\sqrt[3]{27}=3$ $\sqrt[3]{64}=4$ $\sqrt[3]{27}\cdot \sqrt[3]{64}$
$\sqrt[3]{}$
$\sqrt[3]{1728}$
$256$ $625$ $4$ $\sqrt[4]{256}=4$ $\sqrt[4]{625}=5$ $\sqrt[4]{256}\cdot \sqrt[4]{625}$ $\sqrt[4]{160000}$
$\sqrt[4]{256}\cdot \sqrt[4]{625}\ = 4\cdot 5=20$, también $\sqrt[4]{160000}=20$, por lo que $\sqrt[4]{256}\cdot \sqrt[4]{625}\ = \sqrt[4]{160000}$
$-243$ $-32$ $5$ $\sqrt[5]{-243}=-3$ $\sqrt[5]{-32}=6$ $\sqrt[5]{-243}\cdot \sqrt[5]{-32}$ $\sqrt[5]{7776}=6$
$\sqrt[5]{-243}\cdot \sqrt[5]{-32}\ = -3\cdot -2=6$, también $\sqrt[5]{7776}=6$, por lo que $\sqrt[5]{243}\cdot \sqrt[5]{-32}\ = \sqrt[5]{160000}$
$\sqrt[3]{27}\cdot \sqrt[3]{64}=3\cdot 4=12$, también $\sqrt[3]{1728}=12$, por lo que $\sqrt[3]{27}\cdot \sqrt[3]{64}=\sqrt[3]{1728}$

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El cociente de las raíces n-enésimas de dos radicandos, es igual a la n enésima raíz del cociente de éstos, es decir, $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$. En el siguiente escenario puedes comprobar cómo ocurre esto para valores particulares de los radicales que se presentan en el escenario, éstos te permitirán la generalización de la ley mencionada considerando radicandos para cualquier número real.

geogebra

Da clic en 2ª Ley de los radicales para ir al recurso GeoGebra.

Con el recurso GeoGebra comprendiste que al arrastrar los deslizadores se obtuvieron radicales con el mismo índice, lo que te permitió la formulación de la segunda ley de los radicales: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$, para casos particulares. Ahora esta ley la generalizarás para radicandos con cualquier número real y la aplicarás en la obtención de la raíz.

Practicando

A continuación se te presentan algunos ejemplos de cómo se determina la n enésima raíz, con base en éstos determina la raíz que se especifica en la tabla (puedes utilizar la calculadora). Al final da clic en Verificar para recibir retroalimentación.

$a$ $b$ $n$ $\sqrt[n]{a}$ $\sqrt[n]{b}$ $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$ $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$
$36$ $4$ $2$ $\sqrt[2]{36}$ $\sqrt[2]{4}$ $\frac{\sqrt[2]{36}}{\sqrt[2]{4}}$ $\sqrt[2]{\frac{36}{4}}$
$\frac{\sqrt[2]{36}}{\sqrt[2]{4}}$$=\frac{6}{2}=3$, también $\sqrt[2]{\frac{36}{4}}=\sqrt[2]{9}=3$, por lo que se satisface $\frac{\sqrt[2]{36}}{\sqrt[2]{4}}=\sqrt[2]{\frac{36}{4}}$
$-27$ $64$ $3$ $\sqrt[3]{-27}$ $\sqrt[3]{64}$ $\frac{\sqrt[3]{-27}}{\sqrt[3]{64}}$ $\sqrt[3]{\frac{-27}{64}}$
$\frac{\sqrt[3]{-27}}{\sqrt[3]{64}}=\frac{-3}{4}=-\frac{3}{4}$, también $\sqrt[3]{-\frac{27}{64}}=\sqrt[3]{-0.421875}=-\frac{3}{4}$, por lo que se satisface $\frac{\sqrt[3]{-27}}{\sqrt[3]{64}}=\sqrt[3]{-\frac{27}{64}}$
$256$ $625$ $4$ $\sqrt[4]{256}$ $\sqrt[4]{625}$ $\frac{\sqrt[4]{256}}{\sqrt[4]{625}}$
$\sqrt[4]{}$
/
$\sqrt[4]{\frac{256}{625}}$
$\frac{\sqrt[4]{256}}{\sqrt[4]{625}}=\frac{4}{5}$, también $\sqrt[4]{\frac{256}{625}}=\sqrt[4]{0.4096}=\frac{4}{5}$, por lo que satisface $\frac{\sqrt[4]{256}}{\sqrt[4]{625}}=\sqrt[4]{\frac{256}{625}}$
$-243$ $-32$ $5$ $\sqrt[5]{-243}$ $\sqrt[5]{-32}$ $\frac{\sqrt[5]{-243}}{\sqrt[5]{-32}}$ $\sqrt[5]{\frac{-243}{-32}}$
$\frac{\sqrt[5]{-243}}{\sqrt[5]{-32}}=\frac{-3}{-2}=\frac{3}{2}$, también $\sqrt[5]{\frac{-243}{-32}}=\sqrt[5]{7.59375}=\frac{3}{2}$, por lo que se satisface $\frac{\sqrt[5]{-243}}{\sqrt[5]{-32}}=\sqrt[5]{\frac{-243}{-32}}$
Los ejemplos comprueban que la ley se cumple para casos particulares, luego su generalización $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$, se satisface, cuando n sea par debe cumplirse que a$\geq{}$0 y b$\geq{}$0.

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Alumno: 
Matematicas 1