Problema 2

Con una barrica de 110 litros de vinagre se quiere llenar 168 botellas, unas de $\frac{1}{2}$ litro y otras de $\frac{3}{4}$ litro. ¿Cuántas botellas de cada capacidad se utilizarán?

La resolución del problema la realizarás de la misma manera que el problema 1, es decir, primero resolverás cada una de las condiciones que se especifican en éste, mediante los métodos tabular y gráfico, después resolverás las dos condiciones de manera conjunta, las cuales forman un sistema de dos ecuaciones lineales de $2x2$ .

Modelación de ecuaciones lineales

Primera condición del problema 2

Datos	Incógnitas	Ecuación lineal
Se tienen 168 botellas	Sean $x$ las botellas de $\frac{1}{2}$ litro Sean $y$ las botellas de $\frac{3}{4}$ de litro	$x+y=168$

En la resolución de la ecuación $x+y=168$ , considerarás los procedimientos de tabulación y graficación.

Ejercicio de escribir

Para facilitarte la tabulación de las soluciones de la ecuación, la incógnita $y$ , la expresaremos en términos de la incógnita $x$ , para ello, consideramos la ecuación $x+y=168$ , en ésta, al hacer la transposición de la incógnita $x$ al lado derecho de la ecuación se obtiene $y=168-x$ , lo que significa que la incógnita y está expresada en términos de la incógnita $x$ , lo cual simplifica la tabulación, puesto que al asignar valores para la incógnita $x$ , los valores de la incógnita y quedan determinados como se presenta en la Tabla 3.

Realiza la tabulación faltante en la tabla y escríbelas en los espacios correspondientes. Al finalizar da clic en Verificar para revisar tus respuestas.

$x$	$y=168-x$	$x+y=168$
$0$	$y=168-0=168$	$0+168=168$
$45$	$y=168-45=123$	$45+123=168$
$78$	$y=168-78=9 0$	$78+90=16 8$
$97$	$y=168-97=71$	$97+71=168$
$105$	$y=168-105=63$	$105+63=168$
$167$	$y=168-167=1$	$167+1=168$
$168$	$y=168-168= 0$	$168+0=168$

Tabla 3

Las coordenadas de los puntos $(x,168-x)$ , representan las soluciones de la ecuación. Cabe mencionar que la incógnita $x$ , también, puede representarse en términos de la incógnita y, mediante la expresión $x=168-y$ , y las coordenadas de los puntos $(168-y,y)$ también son las soluciones de la ecuación.

Ejercicio de escribir

Aquí se requiere que grafiques las soluciones de la tabla 3 en el plano cartesiano mediante el recurso GeoGebra , el cual te permitirá la comprensión de la solución de la condición mencionada.

Con base en la interacción que realizaste con el recurso GeoGebra, contesta las preguntas y escribe las respuestas en los espacios correspondientes. Al finalizar da clic en Verificar para revisar tus respuestas.

Segunda condición del problema 2

Datos	Incógnitas	Ecuación lineal
Se tienen 110 litros de vinagre.	Sean $x$ las botellas de $\frac{1}{2}$ litro Sean $y$ las botellas de $\frac{3}{4}$ de litro	$\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=110$

Ejercicio de escribir

En la resolución de la ecuación $\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=110$ , considerarás los procedimientos de tabulación y graficación.

Para facilitarte la tabulación de las soluciones de la ecuación de la incógnita $y$ , la expresaremos en términos de la incógnita $x$ .

Ecuación original	$\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=110$
Transponer el término $\frac{1}{2}x$ al lado derecho de la ecuación.	$\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y-\frac{1}{2}x=110-\frac{1}{2}x$
Simplificar el lado izquierdo de la ecuación	$\frac{3}{4}y= 110- \frac{1}{2}x$
Multiplicación de ambos lados de la ecuación por el recíproco de $\frac{3}{4}x$	$\frac{4}{3}\left ( \frac{3}{4}y=110-\frac{1}{2}x \right )$
Realizar operaciones	$y=\frac{440-2x}{3}$

La ecuación función $y=\frac{440-2x}{3}$ , simplifica la tabulación, puesto que al asignar valores para la incógnita x, los valores de la incógnita y quedan determinados como se presenta en la Tabla 4.

Realiza las tabulaciones faltantes y escríbelas en la misma. Al finalizar da clic en Verificar para revisar tus respuestas.

$x$

$y=\frac{440-2x}{3}$

$\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=110$

$0$

$y=$		$=$

$y=\frac{440-2(0)}{3}=\frac{440}{3}$

	$(0) +$		$\left ( \frac{440}{3} \right )$	$=$

$\frac{1}{2}(0)+\frac{3}{4}\left ( \frac{440}{3} \right )=110$

$52$

$y=\frac{440-2(52)}{3}=112$

$\frac{1}{2}(52)+\frac{3}{4}(112)=110$

$64$

$y=$		$=$

$y= \frac{440-2(64)}{3}=104$

	$(64) +$		$(104)$	$=$

$\frac{1}{2}\left ( 64\right )+\frac{3}{4}\left ( 104 \right )= 110$

$196$

$y=\frac{440-2(196)}{3}=16$

$\frac{1}{2}(196)+\frac{3}{4}(16)=110$

$214$

$y=$		$=$

$y=\frac{440-2(214)}{3}=4$

	$(214) +$		$(4)$	$=$

$\frac{1}{2}\left ( 214\right )+\frac{3}{4}\left ( 4 \right )= 110$

$220$

$y=\frac{440-2(220)}{3}=0$

$\frac{1}{2}(220)+\frac{3}{4}(0)=110$

Tabla 4

Las coordenadas de los puntos $\left ( x,\frac{440-2x}{3} \right)$ , representan las soluciones de la ecuación. Asimismo, la incógnita x, puede representarse en términos de la incógnita y, mediante la expresión $x=\frac{400-3y}{2}$ , y las coordenadas de los puntos $\left ( \frac{440-3y}{2},y \right )$ , también son las soluciones de la ecuación.

Ejercicio de escribir

Aquí se requiere que grafiques las soluciones de la tabla 4 en el plano cartesiano, mediante el recurso GeoGebra , el cual te permitirá comprensión de la solución de la condición mencionada.

¿Qué representan las coordenadas del punto A?

¿Cuántas soluciones tiene la segunda condición $\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=110$ ?

¿Qué figura geométrica representan las soluciones de la segunda condición?

Con base en la exploración que realizaste con el escenario de trabajo, se concluye que las coordenadas del punto B son la solución de la ecuación $\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=110$ , representa una línea recta y tiene muchas soluciones.

Ahora retoma las soluciones de cada una de las ecuaciones lineales y determina la solución de ambas mediante los métodos tabular y gráfico.

Ejercicio de escribir

En la tabla 5 se te presentan algunas botellas y las dos condiciones que deben satisfacerse, la primera es $x+y=168$ y la segunda $\left\{\begin{matrix} x+y=168\\ \frac{1}{2}x + \frac{3}{4}y=110 \end{matrix}\right.$ .

Elige el número de botellas que se necesitan para almacenar 110 litros de vinagre que cumplan ambas condiciones y escríbelos en los espacios que se te solicita.

$x$	$y$	$x+y=168$	$\frac{1}{2}+\frac{3}{4}y=110$
$0$	$168$	$168$	$\frac{1}{2}(0)+\frac{3}{4}(168)=126$
$48$	$120$	$168$	$\frac{1}{2}(48)+\frac{3}{4}(120)=122$
$64$	$104$	$168$	$\frac{1}{2}(64)+\frac{3}{4}(104)=110$
$100$	$68$	$168$	$\frac{1}{2}(110)+\frac{3}{4}(68)=101$
$168$	$0$	$168$	$\frac{1}{2}(168)+\frac{3}{4}(0)=84$

Tabla 5

Ejercicio de escribir

La solución gráfica de ambas condiciones del problema 2, requiere que grafiques a su vez, la solución gráfica de cada una de las condiciones del problema mencionado en el plano cartesiano.

Para que hagas esto el recurso GeoGebra , te permitirá hacer la gráfica y comprender dicha solución del sistema de ecuaciones lineales del problema mencionado.

Con base en la interacción que realizaste con el recurso GeoGebra, contesta las preguntas y las respuestas escríbelas en los espacios correspondientes. Al finalizar da clic en Verificar para revisar tus respuestas.

¿Qué representan las coordenadas del punto de intersección de ambas rectas?

¿Cuáles son las coordenadas del punto de intersección de ambas rectas?

$(64,104)$

¿Cuántas soluciones comunes tienen ambas rectas?

Con base en la exploración que realizaste con el escenario de trabajo, se concluye que las coordenadas de los puntos A y B, coinciden en el punto de intersección de ambas rectas y es la solución del sistema de ecuaciones $\left\{\begin{matrix} x+y=168\\ \frac{1}{2}x + \frac{3}{4}y=110 \end{matrix}\right.$ . La solución del sistema es punto de coordenadas $(64,104)$ y es única, puesto que suman $168$ y $110$ , respectivamente.

Ejercicio de escribir

En congruencia con la tabla y gráfica se concluye que las coordenadas $(x,168-x)$ son soluciones de la ecuación $x+y=168$ , mientras que las coordenadas $\left ( x,\frac{440-2x}{3} \right )$ , son las soluciones de la ecuación $\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=110$ . En ambas parejas ordenadas la primera coordenada $x$ es igual.

Para obtener la solución común de ambas ecuaciones, ¿qué condición deben satisfacer las segundas coordenadas? La respuesta escríbela en el recuadro azul.

Para que revises otro ejemplo, revisa el Problema 3.

Problema 2

Modelación de ecuaciones lineales

Primera condición del problema 2

Ejercicio de escribir

Tabla 3

Ejercicio de escribir

Segunda condición del problema 2

Ejercicio de escribir

Tabla 4

Ejercicio de escribir

Ejercicio de escribir

Tabla 5

Ejercicio de escribir

Ejercicio de escribir

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