Obtención de sistemas equivalentes de 2x2: Criterio de la suma o diferencia

Observa el siguiente recurso GeoGebra en el que se muestra del lado izquierdo la gráfica del sistema $\left\{ \matrix{ \color{Blue}{2x + 3y = 18} \hfill \cr \color{Green}{x - y = 3} \hfill \cr} \right.$ ; y del lado derecho la del sistema $\left\{ \matrix{ \color{Blue}{2x + 3y = 18} \hfill \cr \color{Brown}{4x + y = 24} \hfill \cr} \right.$ .

¿Los sistemas tienen la misma o diferente solución? Selecciona la respuesta correcta.

Tienen diferente solución y, por lo tanto, no son sistemas equivalentes.
Tienen la misma solución y, por lo tanto, son sistemas equivalentes

Ambos sistemas tienen la misma solución, por lo que son sistemas equivalentes. El punto de intersección de las rectas $\color{Orange}{\left( {5.4,2.4} \right)}$ determina los valores $\color{Orange}{x = 5.4}$ y $\color{Orange}{y = 2.4}$ , que son solución de ambos sistemas de ecuaciones.

Ahora, desplaza el deslizador en rojo para generar diferentes sistemas equivalentes a $\left\{ \matrix{\color{Blue}{2x + 3y = 18} \hfill \cr \color{Green}{x - y = 3} \hfill \cr} \right.$ . Observa que ambos sistemas contienen a la ecuación 1 y que la ecuación 3 depende del valor del deslizador. Cuando el valor del deslizador vale $\color{red}{2}$ se tiene que:

Sistema original	Sistema equivalente al original
$\left\{ \matrix{ \color{Blue}{2x + 3y = 18} \hfill \cr \color{Green}{x - y = 3} \hfill \cr} \right.$ Ec. 1 Ec. 2	$\left\{ \matrix{ \color{Blue}{2x + 3y = 18} \hfill \cr \color{Brown}{4x + y = 24} \hfill \cr} \right.$ Ec. 1´ Ec. 3´

La Ec.3 es el resultado de sumar o restar un múltiplo de la Ec.2 a la Ec.1, tal como se indica a continuación:

Ecuación 2	$\color{Green}{x - y = 3}$ Ec. 2
Multiplica por 2 la ecuación 2	$\color{Red}{2}\color{Green}{\left( {x - y = 3} \right)}$
Suma las ecuaciones 1 y 2’; el resultado será la ecuación 3	$\matrix{ { + \;\;\underline {\matrix{ {\color{Blue}{2x + 3y = 18}} \hfill \cr {\color{Green}{2x - 2y = 6}} \hfill \cr } } } \hfill \cr {\;\;\;\;\color{Brown}{4x + y\;\; = 24}} \hfill \cr }$ Ec. 1 Ec. 2´ Ec. 3
Con las ecuaciones 1 y 3 forma el sistema equivalente al original.	$\left\{ \matrix{ \color{Blue}{2x + 3y = 18} \hfill \cr \color{Brown}{4x + y = 24} \hfill \cr} \right.$ Ec. 1 Ec. 3

Observa que las ecuaciones Ec. 2 y Ec. 3 son diferentes, por lo que también tienen una representación gráfica diferente. Sin embargo, el sistema original y el sistema equivalente al original tienen la misma solución.

A partir del ejercicio anterior, se deduce el criterio de la suma o diferencia de ecuaciones:

Criterio de la suma o diferencia

Si a una ecuación de un sistema se le suma o resta otra ecuación del mismo sistema, resulta otro sistema equivalente al original.

Practicando

Revisa el recurso GeoGebra de Criterio de la suma o diferencia y desplaza el deslizador $\color{Red}{b}$ . Observa los procedimientos del Criterio de la suma para la construcción de un sistema equivalente, para los diferentes valores del multiplicador $\color{Red}{b}$ .

Después, determina un sistema equivalente al original utilizando el criterio de la suma y multiplicando a la Ec. 2 por $\color{Red}{9}$ .

Sistema original
$\matrix{ { + \;\;\underline {\matrix{ {\color{Blue}{2x + 3y = 18}} \hfill \cr {\color{Green}{2x - 2y = 6}} \hfill \cr } } } \hfill \cr {\;\;\;\;\color{Brown}{4x + y\;\; = 24}} \hfill \cr }$ Ec. 1 Ec. 2

Ahora escribe los números faltantes en la siguiente tabla. Al finalizar da clic en Verificar para recibir retroalimentación.

Ecuación 2

$\color{Green}{x - y = 3}$ Ec. 2

Multiplica por 9 la ecuación 2

$9 {\color{Green} {(x-y=3)}}$

Realiza la operación

$9x-$

$9$

$y=$

$27$

Ec. 2'

Suma las ecuaciones 1 y 2’; el resultado será la ecuación 3

$2x+3y=18$

$9x-$

$9$

$y=$

$27$

$11x-$

$6$

$y=$

$45$

Ec. 1

Ec. 2´

Ec. 3

Con las ecuaciones 1 y 3 forma el sistema equivalente al original

{

$2x+3y=18$

$11x-$

$6$

$y=$

$45$

Ec. 1

Ec. 3

Los sistemas equivalentes son:

Sistema original	Sistema equivalente al original
$\left\{ \matrix{ \color{Blue}{2x + 3y = 18} \hfill \cr \color{Green}{x - y = 3} \hfill \cr} \right.$ Ec. 1 Ec. 2	$\left\{ \matrix{ \color{Blue}{2x + 3y = 18} \hfill \cr \color{Brown}{11x - 6y = 45} \hfill \cr} \right.$ Ec. 1 Ec. 3

Ambos sistemas tienen la misma solución, por lo que son sistemas equivalentes. El punto de intersección de las rectas $\color{Orange}{\left( {5.4,2.4} \right)}$ determina los valores $\color{Orange}{x = 5.4}$ y $\color{Orange}{y = 2.4}$ , que son solución de ambos sistemas de ecuaciones.

Empleando el Criterio de la Suma, determina el sistema equivalente a $\left\{ \matrix{ 2x + 3y = 18 \hfill \cr x - y = 3 \hfill \cr} \right.$ ; multiplica la segunda ecuación por $\color{Red}{-10}$ .

Ahora escribe los números faltantes en la siguiente tabla. Al finalizar da clic en Verificar para recibir retroalimentación.

Ecuación 2

${\color{Green}{x - y = 3}}$ Ec. 2

Multiplica por -10 la ecuación 2

$-10 {\color{Green} {(x-y=3)}}$

Realiza las operaciones

$-10x+$

$10$

$y=$

$-30$

Ec. 2'

Suma las ecuaciones 1 y 2’; el resultado será la ecuación 3

$2x+3y=18$

$-10x+$

$10$

$y=$

$-30$

$-8x+$

$13$

$y=$

$-12$

Ec. 1

Ec. 2´

Ec. 3

Con las ecuaciones 1 y 3 forma el sistema equivalente al original

{

$2x+3y=18$

$-8x+$

$13$

$y=$

$-12$

Ec. 1

Ec. 3

Los sistemas equivalentes son:

Sistema original	Sistema equivalente al original
$\left\{ \matrix{ \color{Blue}{2x + 3y = 18} \hfill \cr \color{Green}{x - y = 3} \hfill \cr} \right.$ Ec. 1 Ec. 2	$\left\{ \matrix{ \color{Blue}{2x + 3y = 18} \hfill \cr \color{Brown}{-8x + 13y = -12} \hfill \cr} \right.$ Ec. 1 Ec. 3

Determina el sistema equivalente a $\left\{ \matrix{ \color{Blue}{6x - 2y = 14} \hfill \cr \color{Green}{2x - 3y = 0} \hfill \cr} \right.$ empleando el Criterio de la Suma, para esto multiplica la segunda ecuación por $\color{Red}{-3}$ , una vez realizado, escribe los números faltantes en la siguiente tabla. Al finalizar da clic en Verificar para recibir retroalimentación.

Ecuación 2

$\color{Green}{2x - 3y = 0}$ Ec. 2

Multiplica por

$-3$ la ecuación 2

$-3 {\color{Green} {(2x-3y=0)}}$

Simplifica

$-6$

$x+$

$9$

$y=$

$0$

Ec. 2'

Suma las ecuaciones 1 y 2’; el resultado será la ecuación 3

$6x-2y=14$

$-6$

$x+$

$9$

$y=$

$0$

$x+$

$7$

$y=$

$14$

Ec. 1

Ec. 2´

Ec. 3

Con las ecuaciones 1 y 3 forma el nuevo sistema equivalente. Sistema 2.

{

$6x-2y=14$

$7$

$y=$

$14$

Ec. 1

Ec. 3

Los sistemas equivalentes son:

Sistema original	Sistema equivalente al original
$\left\{ \matrix{ \color{Blue}{6x - 2y = 14} \hfill \cr \color{Green}{2x - 3y = 0} \hfill \cr} \right.$ Ec. 1 Ec. 2	$\left\{ \matrix{ \color{Blue}{6x - 2y = 14} \hfill \cr \color{Brown}{\>\>\>\>\>\>\>7y = 14} \hfill \cr} \right.$ Ec. 1 Ec. 3

Ambos sistemas tienen la misma solución, por lo que son sistemas equivalentes. Los valores $\color{Orange}{x =3}$ e $\color{Orange}{y = 2}$ , son solución de ambos sistemas de ecuaciones.

Sistemas 2x2: Suma

Obtención de sistemas equivalentes de 2x2: Criterio de la suma o diferencia

Practicando

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