Obtención de sistemas equivalentes de 2x2: Criterio de la suma o diferencia
Observa el siguiente recurso GeoGebra en el que se muestra del lado izquierdo la gráfica del sistema $\left\{ \matrix{ \color{Blue}{2x + 3y = 18} \hfill \cr \color{Green}{x - y = 3} \hfill \cr} \right.$; y del lado derecho la del sistema $\left\{ \matrix{ \color{Blue}{2x + 3y = 18} \hfill \cr \color{Brown}{4x + y = 24} \hfill \cr} \right.$.
¿Los sistemas tienen la misma o diferente solución? Selecciona la respuesta correcta.
-
- Tienen diferente solución y, por lo tanto, no son sistemas equivalentes.
- Tienen la misma solución y, por lo tanto, son sistemas equivalentes
Ambos sistemas tienen la misma solución, por lo que son sistemas equivalentes. El punto de intersección de las rectas $\color{Orange}{\left( {5.4,2.4} \right)}$ determina los valores $\color{Orange}{x = 5.4}$ y $\color{Orange}{y = 2.4}$, que son solución de ambos sistemas de ecuaciones.
Ahora, desplaza el deslizador en rojo para generar diferentes sistemas equivalentes a $\left\{ \matrix{\color{Blue}{2x + 3y = 18} \hfill \cr \color{Green}{x - y = 3} \hfill \cr} \right.$. Observa que ambos sistemas contienen a la ecuación 1 y que la ecuación 3 depende del valor del deslizador. Cuando el valor del deslizador vale $\color{red}{2}$ se tiene que:
| Sistema original | Sistema equivalente al original |
|---|---|
$\left\{ \matrix{ \color{Blue}{2x + 3y = 18} \hfill \cr \color{Green}{x - y = 3} \hfill \cr} \right.$
Ec. 1
Ec. 2
|
$\left\{ \matrix{ \color{Blue}{2x + 3y = 18} \hfill \cr \color{Brown}{4x + y = 24} \hfill \cr} \right.$
Ec. 1´
Ec. 3´
|
La Ec.3 es el resultado de sumar o restar un múltiplo de la Ec.2 a la Ec.1, tal como se indica a continuación:
| Ecuación 2 | $ \color{Green}{x - y = 3}$ Ec. 2 |
|---|---|
| Multiplica por 2 la ecuación 2 | $\color{Red}{2}\color{Green}{\left( {x - y = 3} \right)}$ |
| Suma las ecuaciones 1 y 2’; el resultado será la ecuación 3 | $\matrix{ { + \;\;\underline {\matrix{ {\color{Blue}{2x + 3y = 18}} \hfill \cr {\color{Green}{2x - 2y = 6}} \hfill \cr } } } \hfill \cr {\;\;\;\;\color{Brown}{4x + y\;\; = 24}} \hfill \cr } $
Ec. 1
Ec. 2´
Ec. 3
|
| Con las ecuaciones 1 y 3 forma el sistema equivalente al original. | $\left\{ \matrix{ \color{Blue}{2x + 3y = 18} \hfill \cr \color{Brown}{4x + y = 24} \hfill \cr} \right.$
Ec. 1
Ec. 3
|
Observa que las ecuaciones Ec. 2 y Ec. 3 son diferentes, por lo que también tienen una representación gráfica diferente. Sin embargo, el sistema original y el sistema equivalente al original tienen la misma solución.
A partir del ejercicio anterior, se deduce el criterio de la suma o diferencia de ecuaciones:
Criterio de la suma o diferencia
Si a una ecuación de un sistema se le suma o resta otra ecuación del mismo sistema, resulta otro sistema equivalente al original.
Practicando
Revisa el recurso GeoGebra de Criterio de la suma o diferencia y desplaza el deslizador $\color{Red}{b}$. Observa los procedimientos del Criterio de la suma para la construcción de un sistema equivalente, para los diferentes valores del multiplicador $\color{Red}{b}$.
Después, determina un sistema equivalente al original utilizando el criterio de la suma y multiplicando a la Ec. 2 por $\color{Red}{9}$.
| Sistema original |
|---|
$\matrix{ { + \;\;\underline {\matrix{ {\color{Blue}{2x + 3y = 18}} \hfill \cr {\color{Green}{2x - 2y = 6}} \hfill \cr } } } \hfill \cr {\;\;\;\;\color{Brown}{4x + y\;\; = 24}} \hfill \cr } $
Ec. 1
Ec. 2
|
Ahora escribe los números faltantes en la siguiente tabla. Al finalizar da clic en Verificar para recibir retroalimentación.
Empleando el Criterio de la Suma, determina el sistema equivalente a $\left\{ \matrix{ 2x + 3y = 18 \hfill \cr x - y = 3 \hfill \cr} \right.$; multiplica la segunda ecuación por $\color{Red}{-10}$.
Ahora escribe los números faltantes en la siguiente tabla. Al finalizar da clic en Verificar para recibir retroalimentación.
Determina el sistema equivalente a $\left\{ \matrix{ \color{Blue}{6x - 2y = 14} \hfill \cr \color{Green}{2x - 3y = 0} \hfill \cr} \right.$ empleando el Criterio de la Suma, para esto multiplica la segunda ecuación por $\color{Red}{-3}$, una vez realizado, escribe los números faltantes en la siguiente tabla. Al finalizar da clic en Verificar para recibir retroalimentación.