Resolución de problemas 2x2

Al realizar esta actividad podrás plantear y resolver problemas que involucran sistemas de ecuaciones lineales de 2x2, mediante la modelación de una ecuación lineal con dos incógnitas para cada una de las condiciones y la del sistema de ecuaciones, para consolidar los métodos tabular y gráfico en su resolución.

En la resolución de los problemas considera el análisis del problema, las soluciones tabular y gráfica para cada una de las condiciones del problema, así como la solución de ambas condiciones. Utiliza tu cuaderno para que escribas la ecuación lineal relacionada para cada condición, así como, su solución independiente y conjunta mediante los métodos tabular y gráfico de los siguientes problemas.

Actividad final 1

Problema 1

Una compañía vitivinícola requiere producir 100 litros de jerez con vino blanco que contiene el 10% de alcohol y brandy que contiene el 35% de alcohol. El jerez debe contener el 15% de alcohol. Determina los litros que deben mezclarse de vino blanco y brandy para obtener el resultado deseado.

Modelación de ecuaciones lineales

Primera condición del problema 1

Con base en el análisis del problema que realizaste en tu cuaderno, arrastra la información a la tabla, según corresponda.

Arrastra

Sea

$x$ la cantidad de
litros de vino blanco

$x+y=100$

Se requiere la producción
de 100 litros de jerez.

Sea

$y$ la cantidad de
litros de brandy.

Datos	Incógnitas	Ecuación lineal

Datos	Incógnitas	Ecuación lineal
Se requiere la producción de 100 litros de jerez.	Sea $x$ la cantidad de litros de vino blanco. Sea $y$ la cantidad de litros de brandy.	${\color{Red} x+y=100}$

Tabla 9

Si tus repuestas fueron correctas comprendiste el análisis del problema para modelar la primera condición del problema con una ecuación lineal, en caso contrario, repasa el tema.

Ejercicio de escribir

Considera la tabulación que realizaste en tu cuaderno y escribe las faltantes en la tabla 10.

$x$	$y=100-x$	$x+y=100$
$0$	$y=100-0=100$	$0+100=100$
$25$	$y=100-25=75$	$25+75=100$
$80$	$y=100-80=20$	$80+20=100$
$100$	$y=100-100=0$	$100+0=100$

Tabla 10

Con base en la tabla se concluye que la ecuación tiene soluciones.

Ejercicio de escribir

El recurso GeoGebra te permitirá graficar en el plano cartesiano, las soluciones de la tabla 10 que corresponden a la primera condición del problema.

Con base en la graficación que realizaste en tu cuaderno y la interacción con el recurso GeoGebra, contesta las preguntas y escribe las respuestas en los recuadros correspondientes.

Segunda condición del problema 1

Con base en el análisis del problema que realizaste en tu cuaderno, arrastra la información solicitada en la tabla según corresponda.

Arrastra

Sabes que se tienen que
producir 100 litros de
jerez con el 15% de alcohol.
$\frac{1}{10}x+\frac{7}{20}y=15$
Sea $x$ la cantidad de
litros de vino blanco con
10% de alcohol.
Sea $y$ la cantidad de
litros de brandy con
35% de alcohol.
${\color{Red} 2x+7y=300}$

Datos	Incógnitas	Ecuación lineal

Datos	Incógnitas	Ecuación lineal
Sabes que se tienen que producir 100 litros de jerez con el 15% de alcohol.	Sea $x$ la cantidad de litros de vino blanco con 10% de alcohol. Sea $y$ la cantidad de litros de brandy con 35% de alcohol.	$\frac{1}{10}x+\frac{7}{20}y=15$ o ${\color{Red} 2x+7y=300}$

Si tus repuestas fueron correctas comprendiste el análisis del problema para modelar la segunda condición de problema con una ecuación lineal, en caso contrario, repasa el tema.

Ejercicio de escribir

Considera la ecuación $\frac{1}{10}x+\frac{7}{20}y=15$ , despeja la variable y para facilitar la tabulación de las soluciones de la ecuación y escríbela en el recuadro.

$y=$

$y=\frac{300-2x}{7}$

Ecuación lineal	Propiedades de la igualdad de los números reales
$\frac{1}{10}x+\frac{7}{20}y=15$	Ecuación inicial
$20\left ( \frac{1}{10}x+\frac{7}{20}y=15 \right )$	Multiplicar la ecuación inicial por $20$ para eliminar $\frac{1}{20}$
$2x+7y=300$	Ecuación resultante el efectuar la multiplicación.
$7y=300-2x$	Ecuación resultante al efectuar la transposición del término $2x$ al lado derecho de la ecuación.
$y=\frac{300-2x}{7}$	Ecuación resultante al efectuar la multiplicación de la ecuación por $\frac{1}{7}$ para despejar la variable $y$ .

Considera la tabulación que realizaste en tu cuaderno y escribe las faltantes en la tabla 11.

$x$

$y=\frac{300-2x}{7}$

$2x+7y=300$

$0$

$y=\frac{300-2(0)}{7}=\frac{300}{7}$

$2(0)+7\left ( \frac{300}{7} \right )=300$

$25$

$y=$		$=$

$y=\frac{300-2\left ( 25 \right )}{7}=\frac{250}{7}$

$2(25)+7$ (		$=$

$2(25)+7\left (\frac{250}{7} \right )=300$

$80$

$y=$		$=$

$y=\frac{300-2\left ( 80 \right )}{7}=\frac{140}{7}$

$2(80)+7$ (		$=$

$2(80)+7\left (\frac{140}{7} \right )=300$

$90$

$y=$		$=$

$y=\frac{300-2\left ( 90 \right )}{7}=\frac{120}{7}$

$2(90)+7$ (		$=$

$2(90)+7\left (\frac{120}{7} \right )=300$

$150$

$y=\frac{300-2(150)}{7}=0$

$2(150)+7\left ( \frac{0}{7} \right )=300$

Tabla 11

Con base en la tabla 11 se concluye que la ecuación tiene soluciones.

Ejercicio de escribir

El recurso GeoGebra te permitirá graficar en el plano cartesiano las soluciones de la tabla 11 que corresponden a la segunda condición del problema.

Con base en la graficación que realizaste en tu cuaderno, así como, tu interacción con el recurso GeoGebra, contesta las preguntas y las respuestas escríbelas en los recuadros en color rojo.

Ahora retoma las soluciones de cada una de las ecuaciones lineales del problema 1 y determina la solución de ambas, mediante los métodos tabular y gráfico.

Solución tabular
Solución gráfica

Ejercicio de escribir

Con base en la tabulación que realizaste en tu cuaderno, completa las respuestas que faltan en la tabla 12.

$x$	$y$	$x+y=100$	$2x+7y=300$ $
$0$	$100$	$0+100=100$	$2(0)+7(100)=700$
$38$	$32$	$38+32=70$	$2(38)+7(32)=300$
$60$	$40$	$60+40=100$	$2(60)+7(40)=400$
$80$	$20$	$80+20=100$	$2(80)+7(20)=300$
$129$	$6$	$129+6=135$	$2(150)+7(0)=300$

Tabla 12

Con base en la tabla se concluye que el sistema tiene .

Ejercicio de escribir

La solución gráfica de ambas condiciones del problema requiere que grafiques la solución de cada una de éstas en el plano cartesiano, para ello, el recurso GeoGebra , te permitirá graficar y comprender la solución del sistema de ecuaciones lineales.

Con base en la graficación que realizaste en tu cuaderno, así como tu interacción con el recurso GeoGebra, contesta las preguntas y las respuestas escríbelas en los recuadros correspondientes.

Qué representan las coordenadas del punto A?

Las soluciones de la recta

$x+y=100$

¿Qué representan las coordenadas del punto B?

Las soluciones de la recta

$2x+7y=300$

¿Qué representa el punto de intersección de ambas rectas?

¿Cuántas soluciones tiene el sistema de ecuaciones lineales?

¿Cuáles son las coordenadas de la solución del sistema?

$(80,20)$

La solución del sistema $\left\{\begin{matrix}x+y=100\\ 2x+7y=300\end{matrix}\right.$ es $x=80$ y $y=20$ ,
puesto que satisfacen las ecuaciones del sistema, ya que $80+20=100$ y $2(80)+7(20)=300$ .

Actividad Final 1

Resolución de problemas 2x2

Actividad final 1

Modelación de ecuaciones lineales

Primera condición del problema 1

Tabla 9

Ejercicio de escribir

Tabla 10

Ejercicio de escribir

Segunda condición del problema 1

Ejercicio de escribir

Tabla 11

Ejercicio de escribir

Ejercicio de escribir

Tabla 12

Ejercicio de escribir

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