Adición y sustracción de más de dos fracciones
La suma de tres fracciones $\frac{4}{3}+\frac{3}{2}+\frac{1}{4}$ se puede resolver de las siguientes maneras:
Se suman dos de las fracciones mediante el procedimiento de adición de fracciones con diferente denominador y la fracción resultante se suma con la tercera fracción.
$\frac{4}{3}+\frac{3}{2}=\frac{4(2)}{3(2)}+\frac{3(3)}{2(3)}=\frac{8}{6}+\frac{9}{6}=\frac{8+9}{6} =\frac{\color{Red} {17}}{\color{Red} {6}}$
$\frac{\color{Red} {17}}{\color{Red} {6}}+\frac{1}{4}=\frac{17(4)}{6(4)}+\frac{1(6)}{4(6)}\ = \frac{68}{24}+\frac{6}{24}=\frac{68+6}{24}\ =\ \frac{74}{24}=\frac{37}{12}$
Se simplificó el resultado extrayendo mitad tanto en el numerador como en el denominador.
Por tanto el resultado de $\frac{4}{3}+\frac{3}{2}+\frac{1}{4}=\frac{37}{12}$
Se convierten las tres fracciones a equivalentes para que tengan el mismo denominador (denominador común) y sean partes del mismo tamaño. Para lograr esto se pueden multiplicar tanto el numerador como el denominador de cada fracción por los denominadores de las otras fracciones. Después se suman los numeradores dejando el denominador común. Veamos el siguiente ejemplo:
$ \frac{4}{3}+\frac{3}{2}+\frac{1}{4}=\frac{4 ({\color{Red} 2})({\color{Red} 4})}{3 ({\color{Red} 2})({\color{Red} 4})}+\frac{3 ({\color{red} 3})({\color{Red} 4})}{2 ({\color{Red} 3})({\color{Red} 4})}+\frac{1 ({\color{Red} 3})({\color{Red} 2})}{4 ({\color{Red} 3})({\color{Red} 2})}=$
- Se multiplican 4 y 3 (numerador y denominador de la primera fracción) por 2 y 4 (denominadores de las fracciones 2 y 3).
- Se multiplica 3 y 2 (numerador y denominador de la segunda fracción) por 3 y 4 (denominadores de las fracciones 1 y 3).
- Se multiplica 1 y 4 (numerador y denominador de la tercera fracción) por 3 y 2 (denominadores de las fracciones 1 y 2).
El resultado de estas operaciones es:
$\frac{32}{24}+\frac{36}{24}+\frac{6}{24}=\frac{32+36+6}{24}=\frac{74}{24}=\frac{37}{12}$
Observa que:
- El denominador común (24) de las tres fracciones equivalentes originales es un múltiplo de los denominadores.
- El resultado logrado es el mismo que el obtenido con el procedimiento del punto A.
Para hacer operaciones con números más pequeños que el producto de los denominadores originales, es conveniente que el denominador común de las tres fracciones sea el menor de los denominadores comunes, que se le llama mínimo común denominador (m.c.d.).
Para obtener el m.c.d. de dos o más números, que es el mínimo común múltiplo, se multiplican sus factores primos. Por ejemplo, para los números 3, 2 y 4 se extrae a cada uno -cuando se puede- mitad, tercera, quinta, etc., hasta llegar a 1, como se muestra en la siguiente tabla:
Por tanto, el mínimo común denominador de 3, 2 y 4 se obtiene al multiplicar (2)(2)(3)=12
El m.c.d., que en este caso resultó ser 12, se divide entre cada uno de los denominadores de las fracciones (3, 2 y 4) y el resultado de esta división se multiplica por el numerador respectivo ( 4, 3 y 1):
$\frac{4}{3}+\frac{3}{2}+\frac{1}{4}=\frac{\left ( \frac{{\color{Red} {12}}}{{\color{Red} 3}} \right )4}{12}+\frac{\left ( \frac{{\color{Red} {12}}}{{\color{Red} 2}} \right )3}{12}+\frac{\left ( \frac{{\color{Red} {12}}}{{\color{Red} 4}} \right )1}{12}= \frac{16}{12}+\frac{18}{12}+\frac{3}{12}=\frac{16+18+3}{12}=\frac{37}{12}$
De manera más simplificada se puede escribir así:
$\frac{4}{3}+\frac{3}{2}+\frac{1}{4}=\frac{({\color{Red} 4})4+ ({\color{Red} 6})3+ ({\color{Red} 3})1}{12}=\frac{16+18+3}{12}=\frac{37}{12}$