Solución de un sistema de ecuaciones de 2x2
En el tema Resolución de problemas de 2x2 se revisaron los sistemas de ecuaciones lineales de dos incógnitas mediante el método tabular y gráfico; asimismo, se resolvieron algebraicamente utilizando los métodos de igualación, sustitución y suma o resta.
La solución de un sistema de ecuaciones es el conjunto de valores de las incógnitas que satisfacen a todas las ecuaciones del sistema. Observa los siguientes ejemplos
En el caso del siguiente sistema:
$\left\{ \matrix{ \color{Blue}{2x + 3y = 18 } \hfill \cr \color{Green}{x - y = 3 } \hfill \cr} \right.$
La solución es $x=5.4$ e $y=2.4$, pues al sustituir estos valores en ambas ecuaciones resultan dos igualdades, observa:
| De la ecuación 1 | De la ecuación 2 | |
|---|---|---|
| Ecuación | $\color{Blue}{2x + 3y = 18 }$ | $\color{Green}{x - y = 3 }$ |
| Al sustituir los valores de $x=5.4$ e $y=2.4$ |
$2 (5.4)+3(2.4)=18$ | $(5.4)-(2.4)=3$ |
| Simplifica | $18 = 18$ | $3 = 3$ |
Los valores $x=5.4$ e $y=2.4$ son solución del sistema, ya que al sustituirlos en ambas ecuaciones se obtienen dos igualdades: $18=18$ y $3=3$.
En caso de no cumplirse al menos una de las igualdades, entonces los valores de $x$ e $y$ no serían solución del sistema.
En este otro sistema:
$\left\{ \matrix{ \color{Blue}{2x + 3y = 7} \hfill \cr \color{Green}{x - 5y = - 3} \hfill \cr} \right.$
Se verifica si los valores de $x=5$ e $y=-1$ corresponden a la solución:
| De la ecuación 1 | De la ecuación 2 | |
|---|---|---|
| Ecuación | $ \color{Blue}{2x + 3y = 7}$ | $ \color{Green}{x - 5y = - 3}$ |
| Sustituye los valores $x=5$ e $y=-1$ | $2(5)+3(- 1)=7$ | $(5)-5(-1)=-3$ |
| Simplifica | $7 = 7$ | $10 ≠ -3$ |
Los valores $x=5$ e $y=-1$ no son la solución del sistema, ya que al sustituirlos en ambas ecuaciones no resultan dos igualdades: $7=7$ pero $10≠-3$.
Practicando
Ahora sustituye los valores de $x$ e $y$ en cada sistema de ecuaciones, para ello coloca los datos faltantes en los recuadros señalados, al finalizar da clic en Verificar para revisar tus respuestas. Posteriormente, responde la pregunta que se te presenta. Revisa cada pestaña.
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¿Qué concluyes respecto a los valores $x=2$ e $y=-1$?
- Sí son solución del sistema
- No son solución del sistema
Los valores $x=2$ y $y=-1$ sí son solución del sistema, ya que al sustituirlos en ambas ecuaciones se obtienen dos igualdades: $9=9$ y $1=1$.
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¿Qué concluyes respecto a los valores $x=0$ e $y=1$?
- Sí son solución del sistema
- No son solución del sistema
Los valores $x=0$ y $y=1$ no son solución del sistema, ya que al sustituir sus valores en ambas ecuaciones no se cumplen las igualdades: $1 \ne 7$ y $2 \ne 12$.
La representación gráfica de los sistemas de ecuaciones lineales de 2x2 corresponde a dos rectas en el plano cartesiano $xy$. Estos sistemas tienen solución única si las rectas se intersecan en un punto $(x, y)$, mismo que es la solución del sistema.
Por ejemplo, en la siguiente figura se muestra la solución gráfica del sistema de ecuaciones $\left\{ \matrix{ \color{Blue}{2x + 3y = 18} \hfill \cr \color{Brown}{3x + 2y = 21} \hfill \cr} \right.$ donde cada una corresponde a una recta en el plano cartesiano y la solución al sistema corresponde al punto de intersección $(5.4,2.4)$; lo que significa que el conjunto de valores $x = 5.4$ e $y = 2.4$ es la solución del sistema.
Practicando
Observa la gráfica de este sistema de ecuaciones $\left\{ \matrix{ \color{Blue}{2x + 3y = 20} \hfill \cr \color{Green}{3x + 2y = 23 } \hfill \cr} \right.$ e indica en los recuadros los valores de $x$ e $y$ que son solución.
Ahora escribe los valores de $x$ e $y$ de acuerdo con la solución del sistema de ecuaciones 2x2, al finalizar da clic en Verificar para revisar tus respuestas.