Obtención de sistemas equivalentes de 3x3: Criterio del producto o cociente
Al igual que en los sistemas de 2x2, es posible obtener sistemas equivalentes a un sistema de 3x3 mediante los criterios del producto y de la suma.
Este criterio indica que, si se multiplican o dividen las ecuaciones de un sistema por un número diferente de cero, se obtiene un sistema equivalente.
Por ejemplo, los siguientes sistemas de ecuaciones de 3x3 son equivalentes ya que tienen una misma solución, determinada por los valores $P = 25$, y $L = 18$ $M = 12$
Sistema Original
$\left\{ \matrix{ 3P + 4L + 5M = 207 \hfill \cr P + 3L + 2M = 103 \hfill \cr 6P + L + 4M = 216 \hfill \cr} \right.$
Primer sistema equivalente al original
$\left\{ \matrix{ 6P + 8L + 10M = 414 \hfill \cr - 3P - 9L - 6M = - 309 \hfill \cr - 6P - L - 4M = - 216 \hfill \cr} \right.$
Donde la Ec. 1’ se obtuvo de multiplicar a la Ec. 1 por $2$; la Ec. 2’ se obtuvo de multiplicar a la Ec. 2 por $-3$; y la Ec. 3’ se obtuvo de multiplicar a la Ec. 3 por $-1$.
Practicando
A continuación se presentan dos sistemas de ecuaciones, indica si son equivalentes utilizando el criterio del producto.
Sistema 1
$\left\{ \matrix{ C + M + H = 200 \hfill \cr 16C + 50M + 80H = 7500 \hfill \cr C - M - H = 0 \hfill \cr} \right.$
Sistema 2
$\left\{ \matrix{ - C - M - H = - 200 \hfill \cr 8C + 25M + 40H = 3750 \hfill \cr C - M - H = 0 \hfill \cr} \right.$
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- Sí son sistemas equivalentes
- No son sistemas equivalentes
Los dos sistemas son equivalentes ya que la Ec. 1’, se obtuvo de multiplicar a la ecuación Ec. 1 por $-1$; la Ec. 2’ se obtuvo de dividir a la Ec. 2 entre el número $2$; mientras que la Ec. 3’ es igual a la Ec. 3.
Sistema 1
$\left\{ \matrix{ A + B + C = 6 \hfill \cr A + B + C = 1 \hfill \cr A + 2B + 3C = 4 \hfill \cr} \right.$
Sistema 2
$\left\{ \matrix{ 2A + B + C = 6 \hfill \cr 2A + 2B + 2C = 2 \hfill \cr A + 2B + 3C = 4 \hfill \cr} \right.$
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- Sí son sistemas equivalentes
- No son sistemas equivalentes
Los dos sistemas no son equivalentes ya que la Ec. 1' no es resultado de multiplicar la Ec. 1 por una constante, a pesar de que la Ec. 2' se obtuvo de multiplicar la Ec. 2 por $2$ y que la Ec. 3 es igual a la Ec. 3.