Sistema compatible con infinidad de soluciones
Se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones con el método de igualación:
$4x+6y=2$
$2x+3y=1$
Ec. 1
Ec. 2
Siguiendo los mismos pasos del ejemplo de Sistema compatible con solución única, se realiza los siguientes pasos:
Observa que no aparece “$x$” en la ecuación, pero sí se cumple que $2=2$. Esto significa que para cualquier valor que tenga la incógnita “$x$” en la ecuación 1 o en la ecuación 2, se cumplirá siempre la ecuación Ec. 3, por lo que el sistema tiene infinidad de soluciones como se verá a continuación.
Se sustituye el valor encontrado (en este caso el valor de $x$ que se quiera) en cualquiera de las ecuaciones que tiene las dos incógnitas para encontrar el valor de la otra incógnita. Se escoge sustituir en Ec. 1’.
Escribe la información correspondiente en los espacios y después da clic en Verificar para revisar tus respuestas:
Comprobación. Se sustituyen la solución encontrada en cada una de las dos ecuaciones originales para verificar que se cumplan.
Escribe la información correspondiente en los espacios y después da clic en Verificar para revisar tus respuestas:
De la misma manera se puede comprobar que cualquier solución que cumpla con la Ec. 1 también cumple con la Ec. 2, y viceversa.
Como se vio en el paso 1:
Los puntos que cumplen con la solución de la ecuación Ec. 1 son: $A=(x,y)= \left ( x,\frac{ 2-4x}{6} \right )$
Los puntos que cumplen con la solución de la ecuación Ec. 2 son: $B=(x,y)= \left ( x,\frac{1-2x}{3} \right )$
Observa que al multiplicar la coordenada $y$ del punto $B$ por 2, tanto el numerador como el denominador para que se conserve la igualdad, se obtiene que el punto $A$ y el punto $B$ siempre son iguales, como se ve a continuación:
$B=(x,y)=\left ( x,\frac{1-2x}{3} \right )= \left ( x,\frac{(1-2x)2}{(3)2} \right )= \left ( x,\frac{ 2-4x}{6} \right )=A$
Por lo que se concluye que todas las soluciones de la ecuación Ec. 1 también son soluciones de la ecuación Ec. 2 y viceversa.
Este sistema de ecuaciones lineales es un sistema compatible con infinidad de soluciones.
Revisa el Sistema Igualación 2 para visualizar la solución gráfica del sistema de ecuaciones resuelto de manera algebraica por el método de igualación. Completa los espacios en blanco, contesta las preguntas y al finalizar da clic en Verificar para revisar tus respuestas.
Observa que en el escenario Sistema Igualación 2 las gráficas de las dos ecuaciones coinciden, por lo que se intersectan en todos sus puntos y se tiene infinidad de soluciones. Este sistema es compatible con infinidad de soluciones.
Observa también que en el sistema $\left\{\begin{matrix}4x+6y=2 & Ecuación1 \\ 2x+3y=1 & Ecuación2\end{matrix}\right.$
la ecuación 1 equivale a la ecuación 2 multiplicada por 2, por lo que todas las soluciones de la ecuación 1 también son soluciones de la ecuación 2 y viceversa; se tienen por tanto infinidad de soluciones como ya se indicó.