Problemas 3x3: Método 2

Problemas 3x3: Método de triangulación

Existe un segundo método para resolver los sistemas de ecuaciones lineales de 3x3, éste es el de Triangulación. Revisa el siguiente problema con el que se ejemplifica su resolución.

Si lo deseas, puedes volver a revisar el objeto de aprendizaje de Resolución de sistemas de 3x3.

Problema de la papelería

Tres clientes acudieron a la papelería:

  • El primero gastó $207.00 por 3 plumas, 4 lapiceros y 5 marcadores.
  • El segundo cliente pagó $103.00 por una pluma, 3 lapiceros y 2 marcadores.
  • El tercer cliente gastó $216.00 por 6 plumas, un lapicero y 4 marcadores.

¿Cuál es el costo de una pluma, un lapicero y un marcador en la papelería?

papelería

Te pide calcular el costo de una pluma, un lapicero y un marcador en la papelería.

Datos Incógnitas
  • El primer cliente gastó $207.0 por 3 plumas, 4 lapiceros y 5 marcadores.
  • El segundo cliente gastó $103.00 por una pluma, 3 lapiceros y 2 marcadores.
  • El tercer cliente gastó $216.00 por 6 plumas, un lapicero y 4 marcadores.
  • Sea P el costo de una pluma.
  • Sea L el costo de un lapicero.
  • Sea M el costo de un marcador.

Para elaborar el plan debes plantear las relaciones algebraicas:

El primer cliente gastó 207.00 por 3 plumas, 4 lapiceros y 5 marcadores.

3P+4L+5M=

El segundo cliente pagó 103.00 por una pluma, 3 lapiceros y 2 marcadores.

P+3L+2M=

El tercer cliente gastó 216.00 por 6 plumas, un lapicero y 4 marcadores.

6P+L+4M=

Ahora debes resolver el sistema de estas ecuaciones lineales de 3x3:

3P+4L+5M=207

Ec.1

P+3L+2M=103

Ec.2

6P+L+4M=216

Ec.3

Resolveremos el sistema por el método de triangulación.

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales de 3x3 debes atender lo siguiente:

a) Todas las ecuaciones deben estar ordenadas de la forma:

Ax+By+Cz=D

en donde A, B, C, D son constantes.

En este caso, las tres ecuaciones ya se encuentran ordenadas.

b) El método consiste en obtener un sistema de tres ecuaciones equivalentes, en donde la primera ecuación tendrá las tres incógnitas, la segunda ecuación dos incógnitas y la tercera ecuación una incógnita. Así se obtiene un sistema triangular equivalente al original.

c) Una vez que se tiene este sistema triangular, de tres ecuaciones con tres incógnitas, podemos resolverlo. Basta encontrar el valor de z en la tercera ecuación, sustituir este valor en la segunda ecuación para obtener el valor de y, finalmente reemplazar los valores encontrados de z y de y en la primera ecuación para encontrar el valor de x.

Para poder obtener un sistema triangular equivalente al original es necesario aplicar los siguientes criterios:

1.

Intercambiar el orden de las ecuaciones

Se puede intercambiar el orden de las ecuaciones de un sistema, obteniendo de esta forma un sistema equivalente al original. Procurar intercambiar la del coeficiente menor.

Por ejemplo, si quieres intercambiar la ecuación 3 con la ecuación 1, deberás utilizar la siguiente notación:

Ec.1Ec.3

2.

Producto o cociente por un número real diferente de cero

Si se multiplica o divide toda la ecuación de un sistema por un número diferente de cero, se obtiene una ecuación equivalente a ella.

Por ejemplo, si quieres multiplicar la ecuación 2 por -4 utilizas la siguiente notación:

4Ec.2

3.

Suma o diferencia de ecuaciones

Si a una ecuación de un sistema se le suma o resta otra ecuación del mismo sistema, resulta otro sistema equivalente al original.

Por ejemplo, la ecuación equivalente a la ecuación 2, es la que resulta de restar la ecuación 2 de la ecuación 1 multiplicada por 3:

Ec.2=Ec.23Ec.1

Ahora sí, procede a resolver este sistema de ecuaciones lineales de 3x3.

3P+4L+5M=207

Ec.1

P+3L+2M=103

Ec.2

6P+L+4M=216

Ec.3

Inicia intercambiando la Ec. 2 con la Ec. 1, de preferencia se hace con la que tiene el menor coeficiente.

Sistema equivalente al original:
Ec.1Ec.2

P+3L+2M=103 Ec.1'

3P+4L+5M=207 Ec.2'

6P+L+4M=216 Ec.3

Ahora haz que la segunda ecuación tenga dos incógnitas.

3Ec.1' 3P+9L+6M=309
RestarEc.2' 3P4L5M=207
Resultado 5L+M=102
Sistema equivalente al original:
Ec.2'=3Ec.1'Ec.2'

P+3L+2M=103 Ec.1'

5L+M=102 Ec.2'

6P+L+4M=216 Ec.3

Haz que la tercera ecuación tenga una incógnita.

6Ec.1' 6P+18L+12M=618
RestarEc.3' 6PL4M=216
Resultado 17L+8M=402
Sistema equivalente al original:
Ec.3'=6Ec.1'Ec.3

P+3L+2M=103 Ec.1'

5L+M=102 Ec.2'

17L+8M=402 Ec.3

17Ec.2' 85L+17M=1734
Restar 5Ec.3 85L40M=2010
Resultado 23M=276
Divide entre 23 23M23=27623
Simplifica M=12
Sistema equivalente al original:
Ec.3=17Ec.2'5Ec.3

P+3L+2M=103 Ec.1'

5L+M=102 Ec.2'

M=12 Ec.3

Como ya tienes el valor de una incógnita M=12, sustituye este valor en la ecuación que tiene dos incógnitas, en este caso la Ec. 2´ para obtener el valor de la incógnita L.

Para ello completa los espacios necesarios y al finalizar da clic en Verificar para revisar tus respuestas.

Sustituye M=12 en la Ec. 2´
5L+
=102
Resta 12 en ambos lados de la ecuación:
5L+12
=102
Simplifica: 5L=90
Divide entre
en ambos lados
5L5=905
Simplifica: L=18

Con los valores de dos de las incógnitas M=12 y L=18, se sustituyen en la ecuación Ec. 1´

Sustituye M=12 y L=18 en la Ec. 1´
P+3(
)+2(
)=103
Realiza las operaciones: P+54+24=103
Simplifica P+78=103
Resta entre
en ambos lados:
P+7878=10378
Simplifica P=25

En este paso debes verificar que los resultados que obtuviste cumplen con las condiciones del problema.

Solución al problema de la papelería:

Una pluma costó $25, un lapicero $18 y un marcador $12

El primer cliente compró:

3 plumas: 3($25)=$75
4 lapiceros: 4($18)=$72
5 marcadores: 5($12)=$60
Por lo que gastó: $207.00

El segundo cliente compró:

Una pluma: 1($25)=$25
3 lapiceros: 3($18)=$54
2 marcadores: 2($12)=$24
Por lo que gastó: $103.00

El tercer cliente compró:

6 plumas: 6($25)=$150
Un lapicero: 1($18)=$18
4 marcadores: 4($12)=$48
Por lo que gastó: $216.00
Alumno: