Problemas 3x3: Método de triangulación
Existe un segundo método para resolver los sistemas de ecuaciones lineales de 3x3, éste es el de Triangulación. Revisa el siguiente problema con el que se ejemplifica su resolución.
Si lo deseas, puedes volver a revisar el objeto de aprendizaje de Resolución de sistemas de 3x3.
Tres clientes acudieron a la papelería:
- El primero gastó $207.00 por 3 plumas, 4 lapiceros y 5 marcadores.
- El segundo cliente pagó $103.00 por una pluma, 3 lapiceros y 2 marcadores.
- El tercer cliente gastó $216.00 por 6 plumas, un lapicero y 4 marcadores.
¿Cuál es el costo de una pluma, un lapicero y un marcador en la papelería?
Te pide calcular el costo de una pluma, un lapicero y un marcador en la papelería.
| Datos | Incógnitas |
|---|---|
|
|
Ahora debes resolver el sistema de estas ecuaciones lineales de 3x3:
${\color{Magenta} 3P+4L+5M=207}$
Ec.1
${\color{Purple} P+3L+2M=103}$
Ec.2
${\color{DarkBlue} 6P+L+4M=216}$
Ec.3
Resolveremos el sistema por el método de triangulación.
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales de 3x3 debes atender lo siguiente:
a) Todas las ecuaciones deben estar ordenadas de la forma:
$A{\color{Teal} {x}}+B{\color{Teal} {y}}+C{\color{Teal} {z}}=D$
en donde A, B, C, D son constantes.
En este caso, las tres ecuaciones ya se encuentran ordenadas.
b) El método consiste en obtener un sistema de tres ecuaciones equivalentes, en donde la primera ecuación tendrá las tres incógnitas, la segunda ecuación dos incógnitas y la tercera ecuación una incógnita. Así se obtiene un sistema triangular equivalente al original.
c) Una vez que se tiene este sistema triangular, de tres ecuaciones con tres incógnitas, podemos resolverlo. Basta encontrar el valor de ${\color{Teal} {z}}$ en la tercera ecuación, sustituir este valor en la segunda ecuación para obtener el valor de ${\color{Teal} {y}}$, finalmente reemplazar los valores encontrados de ${\color{Teal} {z}}$ y de ${\color{Teal} {y}}$ en la primera ecuación para encontrar el valor de ${\color{Teal} {x}}$.
Para poder obtener un sistema triangular equivalente al original es necesario aplicar los siguientes criterios:
Intercambiar el orden de las ecuaciones
Se puede intercambiar el orden de las ecuaciones de un sistema, obteniendo de esta forma un sistema equivalente al original. Procurar intercambiar la del coeficiente menor.
Por ejemplo, si quieres intercambiar la ecuación 3 con la ecuación 1, deberás utilizar la siguiente notación:
Ec.1Ec.3
Producto o cociente por un número real diferente de cero
Si se multiplica o divide toda la ecuación de un sistema por un número diferente de cero, se obtiene una ecuación equivalente a ella.
Por ejemplo, si quieres multiplicar la ecuación 2 por -4 utilizas la siguiente notación:
$-4$Ec.2
Suma o diferencia de ecuaciones
Si a una ecuación de un sistema se le suma o resta otra ecuación del mismo sistema, resulta otro sistema equivalente al original.
Por ejemplo, la ecuación equivalente a la ecuación 2, es la que resulta de restar la ecuación 2 de la ecuación 1 multiplicada por 3:
Ec.2$=$Ec.2$-3$Ec.1
Ahora sí, procede a resolver este sistema de ecuaciones lineales de 3x3.
${\color{Magenta} 3P+4L+5M=207}$
Ec.1
${\color{Purple} P+3L+2M=103}$
Ec.2
${\color{DarkBlue} 6P+L+4M=216}$
Ec.3
Inicia intercambiando la Ec. 2 con la Ec. 1, de preferencia se hace con la que tiene el menor coeficiente.
| Sistema equivalente al original: | |
|---|---|
| Ec.1Ec.2 |
$P+3L+2M=103$ Ec.1' $3P+4L+5M=207$ Ec.2' $6P+L+4M=216$ Ec.3 |
Ahora haz que la segunda ecuación tenga dos incógnitas.
| 3Ec.1' | $3P+9L+6M=309$ |
|---|---|
| RestarEc.2' | $-3P-4L-5M=-207$ |
| Resultado | $5L+M=102$ |
| Sistema equivalente al original: | |
|---|---|
| Ec.2'$=3$Ec.1'$-$Ec.2' |
$P+3L+2M=103$ Ec.1' $5L+M=102$ Ec.2' $6P+L+4M=216$ Ec.3 |
Haz que la tercera ecuación tenga una incógnita.
| 6Ec.1' | $6P+18L+12M=618$ |
|---|---|
| RestarEc.3' | $-6P-L-4M=-216$ |
| Resultado | $17L+8M=402$ |
| Sistema equivalente al original: | |
|---|---|
| Ec.3'$=6$Ec.1'$-$Ec.3 |
$P+3L+2M=103$ Ec.1' $5L+M=102$ Ec.2' $17L+8M=402$ Ec.3 |
| 17Ec.2' | $85L+17M=1734$ |
|---|---|
| Restar 5Ec.3 | $-85L-40M=-2010$ |
| Resultado | $-23M=-27 6$ |
| Divide entre $-23$ | $\frac{-23M}{-23}=\frac{-276}{-23}$ |
| Simplifica | $M=1 2$ |
| Sistema equivalente al original: | |
|---|---|
| Ec.3$=17$Ec.2'$-5$Ec.3 |
$P+3L+2M=103$ Ec.1' $5L+M=102$ Ec.2' $M=12$ Ec.3 |
Como ya tienes el valor de una incógnita $M=12$, sustituye este valor en la ecuación que tiene dos incógnitas, en este caso la Ec. 2´ para obtener el valor de la incógnita $L$.
Para ello completa los espacios necesarios y al finalizar da clic en Verificar para revisar tus respuestas.
Con los valores de dos de las incógnitas $M=12$ y $L=18$, se sustituyen en la ecuación Ec. 1´
En este paso debes verificar que los resultados que obtuviste cumplen con las condiciones del problema.
Solución al problema de la papelería:
Una pluma costó $\$25$, un lapicero $\$18$ y un marcador $\$12$
El primer cliente compró:
| 3 plumas: | $3(\$25)=\$75 $ |
|---|---|
| 4 lapiceros: | $4(\$18)=\$72 $ |
| 5 marcadores: | $5(\$12)=\$60 $ |
| Por lo que gastó: | $\$207.00$ |
El segundo cliente compró:
| Una pluma: | $1(\$25)=\$25$ |
|---|---|
| 3 lapiceros: | $3(\$18)=\$54$ |
| 2 marcadores: | $2(\$12)=\$24$ |
| Por lo que gastó: | $\$103.00$ |
El tercer cliente compró:
| 6 plumas: | $6(\$25)=\$150$ |
|---|---|
| Un lapicero: | $1(\$18)=\$18 $ |
| 4 marcadores: | $4(\$12)=\$48 $ |
| Por lo que gastó: | $\$216.00$ |