Problemas que involucran ecuaciones lineales
En este apartado se presentan problemas que satisfacen dos condiciones, cada una de éstas las expresarás como una ecuación lineal con dos incógnitas. En un primer momento analizarás y resolverás cada ecuación de forma independiente y en concordancia con la condición especificada, para ello, utilizarás los registros tabular y gráfico. Después considerarás las dos condiciones y procederás a su modelación con un sistema de ecuaciones lineales de 2x2, así como su resolución con los métodos tabular y gráfico.
Problema 1
En la construcción de los cajones de un librero de madera, un carpintero necesita cortar una tabla de 20 centímetros de largo en dos partes que tengan como diferencia entre ellas 6 centímetros. Determina la longitud de las partes.
Para la resolución del problema considerarás las dos condiciones especificadas en el mismo, cada una de ellas da entrada a una ecuación de primer grado con dos incógnitas, éstas las resolverás de manera independiente con los métodos tabular y gráfico, así mismo, obtendrás la solución común de ambas para que establezcas el criterio que deben satisfacer y su relación con el método de igualación para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales de $2x2$.
Modelación de ecuaciones lineales
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Primera condición del problema 1
Es el proceso en el que se identifican los datos, las incógnitas y la relación entre ellos para la formulación del modelo matemático consistente en una ecuación lineal de primer grado con dos incógnitas tal como se especifica en la tabla.
| Datos | Incógnitas | Ecuación lineal |
|---|---|---|
| Longitud de la tabla 20 cm | Sean $x$ e $y$, las partes en las que queda dividida la tabla. | $x+y=20$ |
En la resolución de la ecuación lineal $x+y=20$, considera los procedimientos de tabulación y graficación.
Ejercicio de escribir
Solución tabular de la ecuación $x + y = 20$
Para facilitarte la tabulación de las soluciones de la ecuación, la incógnita la expresaremos en términos de la incógnita $x$, para ello, consideramos la ecuación $x + y = 20$, en ésta, al hacer la transposición de la incógnita $y$ al lado derecho de la ecuación se obtiene $y = 20 - x$, lo que significa que la incógnita $y$ está expresada en términos de la incógnita $x$, lo cual simplifica la tabulación, puesto que al asignar valores a la incógnita , los valores de la incógnita quedan determinados como se presenta en la Tabla 1.
Realiza la tabulación de los espacios de color azul de la tabla, para esto sustituye el valor de $x$ y escríbelos en la misma. Al finalizar da clic en Verificar para revisar tus respuestas.
Ejercicio de escribir
Aquí se requiere que grafiques las soluciones de la tabla 1 en el plano cartesiano, para ello revisa el siguiente recurso GeoGebra , el cual te permitirá realizar la graficación y la comprensión de la condición mencionada.
Con base en la interacción que realizaste con el recurso GeoGebra, contesta las siguientes preguntas y escribe las respuestas en los espacios correspondientes. Al finalizar da clic en Verificar para revisar tus respuestas.
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Segunda condición del problema 1
| Datos | Incógnitas | Ecuación lineal |
|---|---|---|
| Longitud de la tabla 20 cm | Sean $x$ e $y$, las partes en las que queda dividida la tabla. | $x-y=6$ |
Ejercicio de escribir
Para facilitarte la tabulación de las soluciones de la ecuación, la incógnita $y$ la expresaremos en términos de la incógnita $y$, para ello consideramos la ecuación $x-y=6$, en ésta, al hacer la transposición de la incógnita $y$ al lado derecho y $6$ al lado izquierdo de la ecuación se obtiene $x-6=y$, lo que significa que la incógnita $y$ está expresada en términos de la incógnita $x$, lo cual simplifica la tabulación, puesto que al asignar valores para la incógnita , los valores de la incógnita quedan determinados como se presenta en la Tabla 2.
Realiza la tabulación de los espacios de color azul de la tabla y escríbelos en la misma. Al finalizar da clic en Verificar para revisar tus respuestas.
Ejercicio de escribir
Aquí se requiere que grafiques las soluciones de la tabla 2 en el plano cartesiano, para ello, revisa el siguiente recurso GeoGebra , el cual te permitirá la graficación y comprensión de la solución de dicha condición.
Con base en la interacción que realizaste con el recurso GeoGebra, contesta las siguientes preguntas y escribe las respuestas en los espacios correspondientes. Al finalizar da clic en Verificar para revisar tus respuestas.
Ahora retoma las soluciones de cada una de las ecuaciones lineales del problema 1 y determina la solución de ambas, mediante los métodos tabular y gráfico.
En la siguiente tabla se presentan algunos cortes de la madera y las dos condiciones que deben satisfacer, la primera es $x+y=20$ y la segunda $x-y=6$. Ambas ecuaciones forman el sistema de ecuaciones lineales de $2x2\left\{\begin{matrix}x+y=20\\ x-y=6\end{matrix}\right.$
Elige las longitudes de los cortes especificados en la tabla que cumplan con ambas condiciones y escríbelos en los recuadros correspondientes. Al finalizar da clic en Verificar para revisar tus respuestas.
| Datos | Incógnitas | Ecuación lineal | Ecuación lineal |
|---|---|---|---|
| $$x$$ | $$y$$ | $$x+y=20$$ | $$x-y=6$$ |
| $$0$$ | $$20$$ | $$0+20=20$$ | $$0-20=-20$$ |
| $$4$$ | $$16$$ | $$4+16=20$$ | $$4-16=-12$$ |
| $$10.5$$ | $$9.5$$ | $$10.5+9.5=20$$ | $$10.5-9.5=1$$ |
| $$13$$ | $$7$$ | $$13+7=20$$ | $$13-7=6$$ |
| $$15.5$$ | $$4.5$$ | $$15.5+4.5=20$$ | $$15.5-4.5=11$$ |
| $$17$$ | $$3$$ | $$17+3=20$$ | $$17-3=14$$ |
| $$20$$ | $$0$$ | $$20+0=20$$ | $$20-0=20$$ |
Ejercicio de escribir
Con base en la interacción que realizaste con el recurso GeoGebra, contesta las siguientes preguntas y escribe las respuestas en los espacios correspondientes. Al finalizar da clic en Verificar para revisar tus respuestas.
Ejercicio de escribir
En concordancia con la tabla y la gráfica se concluye que las coordenadas $(x,20-x)$ son soluciones de la ecuación $x+y= 20$, mientras que las coordenadas $(x,x-6)$, son las soluciones de la ecuación $x-y=6$. En ambas parejas ordenadas la primera coordenada $x$ es igual. Para obtener la solución común de ambas ecuaciones, ¿qué condición deben satisfacer las segundas coordenadas?
Escribe tu respuesta en el cuadro correspondiente.
Para que conozcas otro ejemplo, revisa el Problema 2.