En esta sección se presentan los procedimientos que te permitirán la representación de los radicales como una potencia con exponente fraccionario y viceversa, para ello, aplicarás las leyes de las potencias y de los radicales. Se te presentan ejemplos relacionados con ambas representaciones, así como, ejercicios que te permitirán la habilidad y las destrezas en el tránsito entre los radicales y las potencias.
Ejemplos para la representación de radicales a su potencia con exponente fraccionario.
Simplificar las expresiones:
a) 212⋅212
Con base en el producto de potencias con igual base se tiene que 212 ⋅212=212+12=21=2
b) √2⋅√2
Con base en la primera ley de los radicales se tiene que √2⋅√2=√4=2
Como 212⋅212=2 y √2⋅√2=2, se concluye que 212⋅212=√2⋅√2 (a esta propiedad se le llama en Matemáticas transitividad), por lo que la representación de la potencia 212 es el radical √2.
Simplificar las expresiones:
a) 313⋅313⋅313
Con base en el producto de potencias con igual base se tiene que 313⋅313⋅313=313+13+13=31=3
b) 3√3⋅3√3⋅3√3
Con base en la primera ley de los radicales se tiene que 3√3⋅3√3⋅3√3=3√27=3
Como 313⋅313⋅313 y 3√3⋅3√3⋅3√3=3, se concluye que 313⋅313⋅313=3√3⋅3√3⋅3√3 y la representación de la potencia 313 es el radical 3√3.
Simplificar las expresiones:
a) 414⋅414⋅414⋅414
Con base en el producto de potencias con igual base se tiene que 414⋅414⋅414⋅414=414+14+14+14=41=4
b) 4√4⋅4√4⋅4√4⋅4√4
Con base en la primera ley de los radicales se tiene que 4√4⋅4√4⋅4√4⋅4√4=4√256=4
Como 414⋅414⋅414⋅414=4 y 4√4⋅4√4⋅4√4⋅4√4=4, se concluye que 414⋅414⋅414⋅414=4√4⋅4√4⋅4√4⋅4√4 y la representación de la potencia 414 es el radical 4√4.
Simplificar las expresiones:
a) 515⋅515⋅515⋅515⋅515
Con base en el producto de potencias con igual base se tiene que 515⋅515⋅515⋅515⋅515=515+15+15+15+15=51=5
b) 5√5⋅5√5⋅5√5⋅5√5⋅5√5
Con base en la primera ley de los radicales se tiene que 5√5⋅5√5⋅5√5⋅5√5⋅5√5=5√3125=5
Como 515⋅515⋅515⋅515⋅515=5 y 5√5⋅5√5⋅5√5⋅5√5⋅5√5, se concluye que 515⋅515⋅515⋅515⋅515=5√5⋅5√5⋅5√5⋅5√5⋅5√5 y la representación de la potencia 515 es el radical 5√5.
Con base en los ejemplos se obtuvieron las representaciones: 212=√2,313=3√3,414=4√4 y 515=5√5 por lo que se puede intuir que la generalización se expresa como:
a1n=n√a
Esta identidad te permitirá expresar potencias con exponente fraccionario como un radical.
a) 235
Como 35=3(15), se tiene que 235=23(15)=(23)15=5√23
b) 347
Como 47=4(17), se tiene que 347=34(17)=(34)17=7√34
c) 553
Como 53=5(13), se tiene que 553=55(13)=(55)13=3√55
Con base en los ejemplos y aprovechando tu imaginación se obtiene la representación para el caso general, es decir, amn=n√am. Esta ley se utiliza en la simplificación de expresiones aritméticas que contengan potencias y radicales.