Radicales como potencias

En esta sección se presentan los procedimientos que te permitirán la representación de los radicales como una potencia con exponente fraccionario y viceversa, para ello, aplicarás las leyes de las potencias y de los radicales. Se te presentan ejemplos relacionados con ambas representaciones, así como, ejercicios que te permitirán la habilidad y las destrezas en el tránsito entre los radicales y las potencias.

Ejemplos para la representación de radicales a su potencia con exponente fraccionario.

Simplificar las expresiones:

a) 212212

Con base en el producto de potencias con igual base se tiene que 212 212=212+12=21=2

b) 22

Con base en la primera ley de los radicales se tiene que 22=4=2

Como 212212=2 y 22=2, se concluye que 212212=22 (a esta propiedad se le llama en Matemáticas transitividad), por lo que la representación de la potencia 212 es el radical 2.

Simplificar las expresiones:

a) 313313313

Con base en el producto de potencias con igual base se tiene que 313313313=313+13+13=31=3

b) 333333

Con base en la primera ley de los radicales se tiene que 333333=327=3

Como 313313313 y 333333=3, se concluye que 313313313=333333 y la representación de la potencia 313 es el radical 33.

Simplificar las expresiones:

a) 414414414414

Con base en el producto de potencias con igual base se tiene que 414414414414=414+14+14+14=41=4

b) 44444444

Con base en la primera ley de los radicales se tiene que 44444444=4256=4

Como 414414414414=4 y 44444444=4, se concluye que 414414414414=44444444 y la representación de la potencia 414 es el radical 44.

Simplificar las expresiones:

a) 515515515515515

Con base en el producto de potencias con igual base se tiene que 515515515515515=515+15+15+15+15=51=5

b) 5555555555

Con base en la primera ley de los radicales se tiene que 5555555555=53125=5

Como 515515515515515=5 y 5555555555, se concluye que 515515515515515=5555555555 y la representación de la potencia 515 es el radical 55.

Con base en los ejemplos se obtuvieron las representaciones: 212=2,313=33,414=44 y 515=55 por lo que se puede intuir que la generalización se expresa como:

a1n=na

Esta identidad te permitirá expresar potencias con exponente fraccionario como un radical.

a) 235

Como 35=3(15), se tiene que 235=23(15)=(23)15=523

b) 347

Como 47=4(17), se tiene que 347=34(17)=(34)17=734

c) 553

Como 53=5(13), se tiene que 553=55(13)=(55)13=355

Con base en los ejemplos y aprovechando tu imaginación se obtiene la representación para el caso general, es decir, amn=nam. Esta ley se utiliza en la simplificación de expresiones aritméticas que contengan potencias y radicales.

Alumno: