Sistema compatible con solución única

Ahora se resuelve el siguiente sistema por el método de sustitución. El procedimiento se desarrollará de manera similar al Problema de las monedas, por medio del esquema de cuatro pasos, para facilitar su comprensión.

$2x+3y=4$ Ec. 1

$3x+4y=5$ Ec. 2

Practicando

Revisa los diferentes pasos para encontrar la solución del sistema dando clic en cada una de las pestañas. Sigue las indicaciones y contesta lo que se pide en los espacios correspondientes. Al finalizar da clic en Verificar para recibir retroalimentación.

Se despeja la incógnita $y$ de cualquiera de las ecuaciones

Esto se hace para encontrar la representación algebraica de los puntos que representan la solución de la ecuación escogida. Se elige despejar de la ecuación Ec. 1, y se obtiene Ec. 1’:

$2x+3y=4$ Ec. 1
$2x+3y-$ $=4 -$ $2x$	(se restan $2x$ en ambos lados de la ecuación)
$=$ $-2x$	(se simplifica)
$3y$ $=$ $4-2x$ $\frac{3y}{3}=\frac{4-2x}{3}$	(se divide entre 3 ambos lados de la ecuación)
$y=\frac{4-2x}{3}$ Ec. 1'

Si tus respuestas son correctas has comprendido el proceso para despejar adecuadamente la incógnita solicitada del sistema de ecuaciones, en caso contrario, revisa nuevamente el contenido para aclarar dudas.

Por tanto, los puntos que cumplen la condición de la ecuación Ec. 1 son:

$A=(x,y)=\left ( x,\frac{4 -2x}{3} \right )$

Se sustituye $y$ de la ecuación Ec.1’ en la ecuación Ec.2 del sistema

Para que los puntos $A=(x,y)=\left ( x,\frac{4 -2x}{3} \right )$ que cumplen con la ecuación cumplan también con la ecuación , se requiere que sus valores $(x,y)$ sean los mismos, por lo que $y=\frac{4 -2x}{3}$ se sustituye en la ecuación $3x+4y=5$ , y se resuelve la ecuación resultante de una sola incógnita para obtener su valor, como se muestra a continuación:

$3x+4y=$ $5$ Ec. 2
$+4\left (\frac{4-2x}{3}\right)=5$	(se sustituye $y$ de Ec.1’)
$3x+$ $16-8x$ $=5$ $3\left (3x+\frac{16 -8x}{3} \right ) =3\left ({5} \right )$	(ya que $4(\frac{4-2x}{3})=$ $-8x$ $3$ $4(\frac{4-2x}{3})=\frac{16-8x}{3}$
$3(3x+\frac{16 -8x}{3})=3($ $)$	(se multiplica por $3$ en ambos lados)
$9x+16-8x=$ $15$	(se simplifica)
$x+16=15$	(se simplifica)
$x+$ $-16=$ $-16$	(se resta 16 en ambos lados de la ecuación)
$x=$ $-1$	(se simplifica)

Se sustituye el valor encontrado $x=-1$

Esto se hace en cualquiera de las ecuaciones que tenga las dos incógnitas para obtener el valor de la otra. Ahora, se escoge la ecuación Ec. 1’

$2x+3y=4$ Ec. 1
$2($ $)+3$ $=4$ $-2+3y=$ $4$ $-2+3y+2=4+$ $2$ $3y=6$ $3y$ $=$ $6$ $3$ $\frac{3y}{3}=\frac{6}{3}$ $y=$ $2$

$2x+3y=4$ Ec. 1

$2($ $)+3$ $=4$

$-2+3y=$ $4$

$-2+3y+2=4+$ $2$

$3y=6$

$3y$

$=$

$6$

$3$

$\frac{3y}{3}=\frac{6}{3}$

$y=$ $2$

Comprobación

Se sustituyen la solución encontrada $x=-1$ , $y=2$ en cada una de las ecuaciones originales para verificar que se cumplan.

$2x+3y=4$ Ec. 1

$2($ $)+3($ $)=4$

$+6=4$

$=2$

$3x+4y=5$ Ec. 2

$(-1)+4($ $)=5$

$+8=5$

$=5$

Si tus respuestas son correctas has comprendido el proceso de comprobación para la solución encontrada en un sistema de ecuaciones, en caso contrario, revisa nuevamente el contenido para aclarar dudas.

Como cada una de las dos ecuaciones cumple con la solución encontrada $x=-1$ , $y=2$ , la solución es correcta.

Nota: Es necesario verificar la solución en cada una de las dos ecuaciones originales para comprobar que la solución es correcta, porque puede suceder que la solución encontrada sólo se cumpla en una ecuación, pero no en la otra.

A continuación, revisa el recurso GeoGebra Sistema compatible con solución única y sigue las instrucciones.

Como pudiste observar en el recurso GeoGebra y a lo largo de los distintos pasos del método, un sistema con solución única no admite otras soluciones. Por todo lo anterior, se puede verificar que este sistema de ecuaciones lineales es un sistema compatible con solución única.

S. compatible con solución única

Sistema compatible con solución única

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