Problema 3

Una lancha realiza viajes a los bañistas por las bahías de Huatulco a máxima velocidad cubriendo una distancia de 4 kilómetros en 15 minutos con la corriente en contra, mientras que el viaje de regreso también lo realiza a máxima velocidad con la corriente a favor en 12 minutos. Determina la velocidad de la lancha y la de la corriente.

La resolución del problema la realizarás de la misma manera que los dos anteriores, es decir, primero resolverás el problema, para cada una de las condiciones que se especifican en el problema 3, mediante los métodos tabular y gráfico, después resolverás de manera conjunta las dos condiciones, las cuales forman un sistema de dos ecuaciones lineales de $2x2$ .

Modelación de ecuaciones lineales

Primera condición del problema 3

El problema pide determinar la velocidad de la lancha y de la corriente en el viaje de ida.En el problema 3 se menciona la velocidad de la lancha y la de la corriente, en el viaje de ida a la velocidad de la lancha debe restarse la velocidad de la corriente por tener la misma dirección y sentido opuesto, mientras que en el viaje de regreso deben sumarse, puesto que ambas tienen la misma dirección y sentido.

La relación entre ambas se ve en la tabla considerando que ambas velocidades son constantes, y la fórmula distancia es igual a la velocidad por el tiempo.

Datos	Incógnitas	Ecuación lineal
Sabes que la lancha recorre a una distancia de 4 kilómetros a máxima velocidad. El tiempo utilizado por la lancha en recorrer los 4 kilómetros es de 15 minutos.	Sea $x$ la velocidad de la lancha. Sea $y$ la velocidad de la corriente.	$4=(x-y)(15)$

Ejercicio de escribir

En este problema considera que la velocidad de lancha y la de la corriente son constantes, asimismo, deben darse en $\frac{km}{h}$ , luego $15$ $minutos= \frac{1}{4} hora$ . Al aplicar las características del movimiento rectilíneo uniforme se tiene que $d=vt$ , donde, $d$ es la distancia, $v$ la velocidad y $t$ el tiempo. Por lo que la velocidad de la lancha de ida es $4=(x-y)\left ( \frac{1}{4} \right )$ . Para facilitar su solución vamos a utilizar una ecuación equivalente.

Ecuación lineal	Propiedades de la igualdad
$4=(x-y)\left ( \frac{1}{4} \right )$	Ecuación inicial
$\begin{bmatrix} 4=(x-y)\left ( \frac{1}{4} \right ) \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4 \end{bmatrix}$	Multiplicar la ecuación inicial por $4$ para eliminar $\frac{1}{4}$
$16=x-y$	Ecuación resultante al realizar la multiplicación
$y=x-16$	Ecuación equivalente al despejar la incógnita $y$

En la tabla 6 se te presentan algunos valores de las incógnitas que satisfacen la ecuación, realiza las tabulaciones faltantes y escríbelos en la misma. Al finalizar da clic en Verificar para revisar tus respuestas.

$x$	$y=x-16$	$x-y=16$
$16$	$y=16-16=0$	$16-0=16$
$16.5$	$y=16.5-16= 0.5$	$16.5-0.5=16$
$17$	$y=17-16=1$	$17-1=16$
$18$	$y=18-16=2$	$18-2=16$
$19$	$y=19-16=3$	$19-3=16$
$20$	$y=20-16=4$	$20-4=16$

Tabla 6

Con base en la tabla 6 puedes darte cuenta que la ecuación $x-y=16$ tiene muchas soluciones y se representan con las coordenadas de los puntos $(x,x-16)$ . Cabe mencionar que la incógnita $x$ , también, puede representarse en términos de la incógnita $y$ , mediante la expresión $x=y+16$ , y las coordenadas de los puntos $(y+16,y)$ , también son las soluciones de la misma ecuación.

Ejercicio de escribir

Aquí se requiere que grafiques las soluciones de la tabla 6 en el plano cartesiano, mediante el recurso GeoGebra , el cual te permitirá la comprensión de la solución de la condición mencionada.

Con base en la interacción que realizaste con el recurso GeoGebra, contesta las preguntas y escribe las respuestas en los espacios correspondientes.

Segunda condición del problema 3

En el viaje de regreso deben sumarse ambas velocidades, puesto que tienen la misma dirección y mismo sentido. La relación entre ambas se da en la tabla considerando que ambas velocidades son constantes y la fórmula distancia es igual a la velocidad por el tiempo.

Datos	Incógnitas	Ecuación lineal
Sabes que la lancha recorre 4 kilómetros a máxima velocidad. El tiempo utilizado por la lancha en recorrer los 4 kilómetros es de 12 minutos.	Sea $x$ la velocidad de la lancha. Sea $y$ la velocidad de la corriente.	$4=(x+y)(12)$

Ejercicio de escribir

En este problema considera que la velocidad de la lancha y la de la corriente son constantes, asimismo, deben darse en $\frac{km}{h}$ , luego $12$ $minutos=\frac{1}{5} hora$ . Al aplicar las características del movimiento rectilíneo uniforme se tiene que $d=vt$ , donde, $d$ es la distancia, $v$ la velocidad y $t$ el tiempo. La velocidad de la lancha de regreso es $4=(x+y)\left ( \frac{1}{5} \right )$ . Para facilitar la solución vamos a utilizar una ecuación equivalente.

Ecuación lineal	Propiedades de la igualdad
$4=(x+y)\left ( \frac{1}{5} \right )$	Ecuación inicial.
$\left [ 4=(x+y)\left ( \frac{1}{5} \right ) \right ]\left [ 5 \right ]$	Multiplicar la ecuación inicial por 5 para eliminar $\left ( \frac{1}{5} \right )$ .
$20=x+y$	Ecuación resultante al efectuar la multiplicación.
$y=20-x$	Ecuación lineal al despejar la incógnita $y$ .

En la tabla 7 se te presentan algunas velocidades de la lancha y de la corriente que satisfacen la ecuación, determina las que se indican y escríbelas en la misma.

$x$	$y=20-x$	$x+y=20$
$0$	$y=20-0=20$	$0+20=20$
$5$	$y= 20-5=15$	$5+ 15=20$
$10$	$y=20-10=10$	$10+10=20$
$15$	$y=20- 15=5$	$15+5= 20$
$18$	$y=20-18=2$	$18+2=20$
$19$	$y=20-19= 1$	$19+1=20$
$20$	$y=20-20=0$	$y=20+0=20$

Tabla 7

Con base en la tabla 7 puedes darte cuenta que la ecuación $x+y=20$ tiene muchas soluciones y se representan con las coordenadas de los puntos $(x,20-x)$ . Cabe mencionar que la incógnita $x$ , también, puede representarse en términos de la incógnita $y$ , mediante la expresión $x=20-y$ , y las coordenadas de los puntos $(20-y,y)$ , también son las soluciones de la misma ecuación.

Ejercicio de escribir

La solución gráfica de la segunda condición del problema 3, requiere que grafiques las soluciones de la tabla 7 en el plano cartesiano. Para que hagas esto el recurso GeoGebra , te permitirá hacer la gráfica y comprender dicha solución del sistema de ecuaciones lineales del problema.

Con base en la interacción que realizaste con el recurso GeoGebra, contesta las preguntas y escribe las respuestas en los espacios correspondientes. Al finalizar da clic en Verificar para revisar tus respuestas.

Ahora retoma las soluciones de cada una de las ecuaciones lineales del problema 3 y determina la solución de ambas, mediante los métodos tabular y gráfico.

Ejercicio de escribir

En la tabla 8 se te presentan la velocidad de la lancha y la velocidad de la corriente, así como las dos condiciones que deben satisfacer, la primera es $x-y=16$ y la segunda $x+y=20$ , éstas forman el sistema de ecuaciones $\left\{\begin{matrix}x-y=16\\ x+y=20\end{matrix}\right.$ .

Elige las velocidades especificadas que cumplan con ambas condiciones y escríbelos en los recuadros de color azul.

$x$	$y$	$x-y=16$	$x+y=20$
$25$	$9$	$25-9=16$	$25+9=34$
$20$	$4$	$20-4=18$	$20+4=24$
$18$	$2$	$18-2=16$	$18+2=20$
$15$	$5$	$15-5=10$	$15+5=20$
$16$	$0$	$16+0=16$	$16+0=16$
$10$	$10$	$10-10=0$	$10+10=20$
$5$	$15$	$5-15=-10$	$5+15=20$

Tabla 8

Ejercicio de escribir

La solución gráfica de ambas condiciones del problema 3, requiere que grafiques la solución de cada una de las condiciones del problema mencionado en el plano cartesiano. Para que hagas esto el recurso GeoGebra , te permitirá hacer la gráfica y comprender dicha solución del sistema de ecuaciones lineales del problema.

Con base en la interacción que realizaste con el recurso GeoGebra, contesta las preguntas y las respuestas escríbelas en los espacios correspondientes. Al finalizar da clic en Verificar para revisar tus respuestas.

Qué representan las coordenadas del punto A?

Las soluciones de la ecuación

$x-y=16$

¿Qué representan las coordenadas del punto B?

Las soluciones de la ecuación

$x+y=20$

¿Qué representa el punto de intersección de ambas rectas?

¿Cuáles son las coordenadas del punto de intersección?

$(18,2)$

¿Cuántas soluciones tiene el sistema de ecuaciones?

Con base en la exploración que realizaste con el escenario de trabajo, se concluye que las coordenadas de los puntos A son las soluciones de la ecuación $x-y=16$ , mientras que las del punto B son las soluciones de la ecuación $x+y=20$ , éstas coinciden en el punto de intersección de ambas rectas y es la solución del sistema de ecuaciones $\left\{\begin{matrix}x-y=16\\ x+y=20\end{matrix}\right.$ .

La solución del sistema es el punto de coordenadas $(18,2)$ , puesto que $x-y=16$ y $x+y=20$ .

Ejercicio de escribir

Con base en la tabla y en la gráfica se concluye que las coordenadas $(x,x-16)$ son soluciones de la ecuación $x-y=16$ , mientras que las coordenadas $(x,20-x)$ , son las soluciones de la ecuación $x+y=20$ . En ambas parejas ordenadas la primera coordenada x es igual.

Para obtener la solución común de ambas ecuaciones, ¿qué condición debe satisfacer la segunda coordenada? La respuesta escríbela en el recuadro azul.

Problema 3

Modelación de ecuaciones lineales

Primera condición del problema 3

Ejercicio de escribir

Tabla 6

Ejercicio de escribir

Segunda condición del problema 3

Ejercicio de escribir

Tabla 7

Ejercicio de escribir

Ejercicio de escribir

Tabla 8

Ejercicio de escribir

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