Resolución de problemas con ecuaciones lineales

Esta actividad te permitirá comprobar los contenidos aprendidos en este objeto de aprendizaje aplicando las propiedades de la resolución de problemas.

Actividad final

A continuación te presentamos una ecuación y tres problemas, para los cuales te proponemos que utilices tu cuaderno para resolverlos, una vez que lo hagas, escribe la solución en los espacios correspondientes. Al terminar da clic en Verificar para recibir retroalimentación.

Propiedades aplicables en la resolución de problemas

Encuentra la solución de la ecuación:

$8x-2(3-x)-5x=4(x+1)-5-x$

Debes aplicar las reglas de transposición y la distributiva de la multiplicación sobre la suma.

Solución $x=$

$x=\frac{5}{2}$

Ecuación	$8x-2(3-x)-5x=4(x+1)-5-x$
Propiedad distributiva	$8x-{\color{Green} {6+2x}}-5x={\color{Green} {4x+4}}-5-x$
Simplifica en ambos lados de la igualdad	$5x-6=3x-1$
Suma $6$ en ambos lados	$5x-6{\color{green}{+6}}=3x-1{\color{green}{+6}}$
Simplifica	$5x=3x+5$
Resta $3x$ en ambos lados	$5x{\color{green} {-3x}} = 3x + 5{\color{green} {-3x}}$
Simplifica	$2x=5$
Divides entre $2$ en ambos lados	$\frac{2x}{\color{green}2} = \frac{5}{\color{Green}2}$
Simplifica y encuentras la solución de la ecuación	$x = \frac{5}{2}$

Verifica:

$8\left( \frac{5}{2} \right)-2\left(3-\frac{5}{2}\right)-5 \frac{5}{2}=4\left(\frac{5}{2}+1\right)-5-\frac{5}{2}$

$\frac{40}{2} -2\left(\frac{1}{2}\right)-\frac{25}{2}=4\left(\frac{7}{2}\right)-5-\frac{5}{2}$

$20-1-\frac{25}{2}=\frac{28}{2}-\frac{10}{2}-\frac{5}{2}$

$\frac{38}{2}-\frac{25}{2}=\frac{13}{2}$

$\frac{13}{2}=\frac{13}{2}$

arriba

Resuelve el siguiente problema de Mezclas

Elena está encargada de fumigar los jardines de una multiplaza. Para ello dispone de 100 litros de insecticida que está concentrado al 70%, como quiere acabar definitivamente con la plaga, decide mezclarlo con un insecticida que está al 90%, para así obtener el insecticida que utilizará y quedará al 75%.

¿Cuántos litros de insecticida al 90% debe utilizar para encontrar la mezcla deseada?

Observa la siguiente figura que presenta el problema:

Solución

Elena debe mezclar

$33\frac{1}{3}$ litros del insecticida al 90% con los 100 litros del insecticida al 70% para obtener

$133\frac{1}{3}$ litros de insecticida al 75%.

Datos	Incógnitas	Relación algebraica
100 litros de insecticida al 70%	Sea $x$ la cantidad de litros de insecticida al 90%	$0.70(100)+0.90x=0.75(x+100)$
Insecticida que está al 90%	Sea $x+100$ la cantidad de litros de insecticida que quedarán de la mezcla
Insecticida que estará al 75%	$0.75(x+100)$ la cantidad de litros de insecticida al 75%

Ecuación que plantea el problema:	$0.70(100)+0.90x=0.75(x+100)$
Propiedad distributiva	$70+0.90x=0.75x+75$
Multiplica por $100$ en ambos lados para quitar los decimales	${\color{green} {100}}(70+0.90x)={\color{green} {100}} (0.75x+75)$ $7000+90x=75x+7500$
Resta $7000$ en ambos lados	$7000+90x{\color{green} {-7000}}=75x+7500{\color{green} {-7000}}$
Simplifica	$90x=75x+500$
Resta $75x$ en ambos lados	$90x{\color{green} {-75x}}=75x+500{\color{Green} {-75x}}$
Simplifica	$15x=500$
Divide entre $15$ en ambos lados	$\frac{15x}{\color{green} {15}}=\frac{500}{\color{green} {15}}$
Simplifica	$x=\frac{500}{15}=33\tfrac{1}{3}$
Solución de la ecuación:	$x=33\tfrac{1}{3}$

Verifica:

$0.70(100)+0.90 \left ( \frac{500}{15} \right ) = 0.75 \left ( \frac{500}{15} +100 \right )$

$70+\frac{450}{15}= 0.75 \left ( \frac{2000}{15} \right )$

$\frac{1050}{15}+\frac{450}{15}=\frac{1500}{15}$

$\frac{1500}{15}=\frac{1500}{15}$

arriba

Problema de inversiones

Carlos cuenta con $100,000$ los cuáles quiere invertir en un fondo que paga 8% anual y en un bono del ahorro que paga 12% anual. Exactamente quiere obtener $9,000$ de interés al cabo de un año.

¿Qué cantidad deberá invertir en el fondo y qué cantidad deberá invertir en el bono del ahorro?

Solución

Carlos debe invertir en el fondo

$75,000$ y en el bono del ahorro

$25,000$ .

Datos	Incógnitas
Dinero a invertir: $100,000$	$x$	cantidad a invertir en el fondo
Intereses que da el fondo 8% anual	$100,000-x$	cantidad a invertir en el bono del ahorro
Intereses que da el bono del ahorro 12% anual	$0. 08x$	intereses generados por el fondo
Intereses por obtener por los dos instrumentos $9,000$	$0 .12(100,000-x)$	intereses generados por el bono del ahorro

Relación algebraica:

Ecuación que plantea el problema:	$0.08x+0.12(100,000-x)=9,000$
Propiedad distributiva	$0.08x+{\color{green} {120,000-0.12x}}=9,000$
Resta $12,000$	$0.08x+12,000-0.12x{\color{green} {-12,000}}=9,000{\color{green} {-12,000}}$
Simplifica	$-0.04x=-3,000$
Divide entre $-0.04$	$\frac{-0.04x}{\color{green} {-0.04}}=\frac{-3,000}{\color{green} {-0.04}}$
Solución de la ecuación:	$x=75,000$

Solución:

Carlos debe invertir en el fondo $75,000$ y en el bono del ahorro $25,000$ .

Verifica:

$0.08x+0.12(100,000-x)=9,000$

$0.08({\color{Green} {75,000}})+0.12(100,000-{\color{Green} {75,000}})=9,000$

$6,000+0.12(25,000)=9,00 0$

$6,000+3,000=9,00 0$

$9,000=9,00 0$

arriba

Resuelve el siguiente problema de velocidad

Luis se dirige de su casa a la terminal de autobuses en su bicicleta y viaja a $6 Km/h$ . Luego toma el autobús a su trabajo, el cual lleva una velocidad de $60 Km/h$ . En el autobús emplea 20 minutos menos de tiempo que en su bicicleta. La distancia de su casa al trabajo son $46$ kilómetros.

¿Cuál es la distancia de su casa a la terminal de autobuses?

Considera a $t$ como el tiempo en horas de la casa de Luis a la terminal de autobuses.

Solución

Como el tiempo que le lleva a Luis de su casa a la terminal de autobuses es de

, el problema pregunta: ¿cuál es la distancia de su casa a la terminal de autobuses?, esta es

$6t=6(1)=6$ kilómetros.

Como el tiempo tiene que estar en horas, 20 minutos es $\frac{1}{3}$ de hora.

	Tiempo	Velocidad	Distancia
En bicicleta	$t$	$6$	$6t$
En autobús	$t-\frac{1}{3}$	$60$	$60 \left ( t - \frac{1}{3} \right )$

Ecuación que plantea el problema:	$6t + 60 \left ( t - \frac{1}{3} \right ) = 46$
Propiedad distributiva	$6t+60t-60(\frac{1}{3})=46$
Simplifica	$66t-20=46$
Suma 20 en ambos lados	$66t-20{\color{green} {+20}}=46{\color{green} {+20}}$
Simplifica	$66t=66$
Divide entre 66 en ambos lados:	$\frac{66t}{\color{green}{66}} = \frac{66}{\color{green}{66}}$
Simplifica:	$t=1$

Solución:

Como el tiempo que le lleva a Luis de su casa a la terminal de autobuses es de una hora, el problema pregunta: cuál es la distancia de su casa a la terminal de autobuses, esta es $6t=6(1)=6$ kilómetros.

Verifica:

$6(1)+60\left (1-\tfrac{1}{3} \right )=46$

$6+60\left (\tfrac{2}{3} \right ) = 46$

$6+\tfrac{120}{3}=46$

$6+40=46$

$46=46$

arriba

Actividad final

Resolución de problemas con ecuaciones lineales

Actividad final

Propiedades aplicables en la resolución de problemas

Formulario de búsqueda