Problemas que se resuelven con sistemas de ecuaciones lineales de 2x2

A continuación encontrarás tres problemas cuyo planteamiento involucra un sistema de ecuaciones lineales con dos variables, su resolución la llevarás a cabo utilizando alguno de los métodos algebraicos, elige el que desees repasar.

Problema de los perros y las gallinas

A Juan le gustan mucho los animales y tiene en su propiedad perros y gallinas. Un día le dijo a su esposa: ¿qué te parece?, conté todas las cabezas de los animales y ya tenemos 60, también conté sus patas y obtuve 188.

¿Cuántos perros y cuántas gallinas tiene?

Paso 1. Comprender el problema

Se te pide encontrar cuántos perros y cuántas gallinas tiene Juan.

Datos	Incógnitas
• Sabes que hay 60 cabezas y 188 patas. • También sabes que los perros tienen 4 patas y las gallinas 2 patas.	Sea $x$ el total de perros. Sea $y$ el total de gallinas.

Datos

Incógnitas

• Sabes que hay 60 cabezas y 188 patas.

• También sabes que los perros tienen 4 patas y las gallinas 2 patas.

Sea $x$ el total de perros.

Sea $y$ el total de gallinas.

Paso 2. Elaborar un plan

En este punto debes plantear las relaciones algebraicas:

Hay 60 cabezas

$x+y=6 0$

Hay 188 patas. Los perros tienen 4 y las gallinas 2 patas

$4x+2y=188$

Con estas relaciones algebraicas logras encontrar dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

Paso 3. Ejecutar el plan

Debes resolver el sistema de ecuaciones lineales de 2x2:

$x+y=60$ Ecuación 1 Ec. 1

$4x+2y=188$ Ecuación 2 Ec. 2

Se resolverá por el método de igualación, para ello, completa la información en los espacios correspondientes. Al finalizar da clic en Verificar para recibir retroalimentación.

a) Despeja la misma incógnita de ambas ecuaciones. En este caso despejarás $y$ .

Ecuación 1		Ecuación 2
Ecuación: $x+y=60$		Ecuación: $4x+2y=188$
Resta $x$ en ambos lados:	$x+y-x=60-x$	Resta $4x$ en ambos lados:	$4x+2y-4x=188-4x$
Simplifica:	$y=$ $60-x$ Ec.1'	Simplifica:	$2y=$ $188-4x$
		Divide entre $2x$ en ambos lados:	$2y$ $=$ $\frac{2y}{2}=\frac{188-4x}{2}$
		Simplifica:	$y=$ $-2x$ Ec.2'

b) Iguala las ecuaciones encontradas Ec.1’ = Ec.2’ y resuelve la ecuación resultante.

Ecuación resultante: $60-x=94-2x$
Suma $2x$ en ambos lados:	$+2x=$ $-2x+2x$
Simplifica:	$+x=94$
Resta $60$ en ambos lados:	$+x-60$ $-60$
Simplifica:	$x=$ $34$

c) Se sustituye el valor encontrado en cualquiera de las dos ecuaciones Ec.1 o Ec.2 En este caso lo harás en la Ec.1

Ecuación 1: $x+y=60$
Sustituye el valor encontrado:	$+y=60$
Resta $34$ en ambos lados:	$+y-34=60-34$
Simplifica	$y=$ $26$

d) Comprobación. Sustituye los valores encontrados $x=$ , $y=$ $26$ en cada una de las dos ecuaciones originales Ec.1 y Ec.2, para verificar que se cumplan las igualdades.

En la ecuación 1	En la ecuación 2
$x+y=60$	$4x+2y=188$
$+$ $=60$	$4($ $)+2($ $)=188$
60=60	$+$ $=188$
	$188=188$

Paso 4. Hacer la verificación

En este paso debes verificar que los resultados que obtuviste cumplen con las condiciones del problema.

Solución al problema de los perros y las gallinas

Juan tiene 34 perros y 26 gallinas.

Si sumas ambos te dan el total de cabezas: $34+26=60$

Para saber el total de patas que hay entre todos los perros, multiplica por $4:4(34)=136$

Ahora para encontrar el total de patas de todas las gallinas, multiplica por $2:2(26)=52$

Finalmente sabes que en total hay 188 patas, eso lo obtienes sumando las dos cantidades anteriores:

$136+52=188$

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Problema de la carne

En la carnicería del supermercado tienen carne molida de sirloin y molida popular. Un lote de molida popular contiene 3 kilogramos de grasa y 15 kilogramos de carne roja; mientras que la de sirloin contiene sólo 2 kilogramos de grasa y 18 de carne roja.

En este momento la carnicería cuenta con 23 kilogramos de grasa y 171 kilogramos de carne roja.

¿Cuántos lotes de carne molida popular y de sirloin se pueden producir utilizando toda la carne y toda la grasa sin desperdiciar nada?

Paso 1. Comprender el problema

Te pide encontrar cuántos lotes de carne molida popular y de sirloin se pueden producir utilizando toda la carne y toda la grasa sin desperdiciar nada.

Datos	Incógnitas
• Sabes que la carne molida popular contiene 3 kilogramos de grasa y la de sirloin contiene 2 kilogramos de grasa. • También sabes que la carne molida popular contiene 15 kilogramos de carne roja y la de sirloin contiene 18 kilogramos de carne roja. • En este momento la carnicería cuenta con 23 kilogramos de grasa y 171 kilogramos de carne roja.	Sea $x$ el número de lotes que se van a producir de carne molida popular. Sea $y$ el número de lotes que se van a producir de carne molida de sirloin.

Datos

Incógnitas

• Sabes que la carne molida popular contiene 3 kilogramos de grasa y la de sirloin contiene 2 kilogramos de grasa.

• También sabes que la carne molida popular contiene 15 kilogramos de carne roja y la de sirloin contiene 18 kilogramos de carne roja.

• En este momento la carnicería cuenta con 23 kilogramos de grasa y 171 kilogramos de carne roja.

Sea $x$ el número de lotes que se van a producir de carne molida popular.

Sea $y$ el número de lotes que se van a producir de carne molida de sirloin.

Paso 2. Elaborar un plan

En este punto debes plantear las relaciones algebraicas:

La carnicería cuenta con 23 kilogramos de grasa:

$3x+2y=23$

Y cuenta con 171 kilogramos de carne roja:

$15x+18y=171$

Como puedes observar hay dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Paso 3. Ejecutar el plan

Ahora debes resolver el sistema de estas ecuaciones lineales de 2x2:

$3x+2y=23$ Ec. 1

$15x+18y=171$ Ec. 2

Se resolverá por el método de sustitución, despeja una incógnita de cualquiera de las dos ecuaciones, en este caso será $y$ de la ecuación 1, para ello, completa la información en los espacios correspondientes. Al finalizar da clic en Verificar para recibir retroalimentación.

a) Despeja una incógnita de cualquiera de las dos ecuaciones. En este caso despejarás $y$ de la ecuación Ec. 1

Ecuación	$3x+2y=$ $23$
Resta $3x$ en ambos lados:	$3x+2y-3x=$ $23-3x$
Simplifica:	$2y=$ $23-3$
Divide entre $2$ en ambos lados:	$2y$ $2$ $=$ $2$ $\frac{2y}{2}=\frac{23-3x}{2}$
Simplifica:	$y=$ $2$ $y=\frac{23-3x}{2}$ Ec. 1'

b) Sustituye $y$ de la ecuación Ec.1’ en la Ec.2 del sistema.

Ecuación Ec.1’	$y=\frac{ {23-3x}}{2}$
Ecuación Ec.2 del sistema:	$15x+18y=171$
Sustituye $y$ de la ecuación Ec.1’ en la otra ecuación Ec.2 del sistema:	$15x+18($ $2$ $)=$ $15x+18(\frac{23-3x}{2})=171$

Resuelve la ecuación resultante de una sola incógnita para obtener el valor de $x$ .

Ecuación resultante:	$15x+18($ $2$ $)=171$ $15x+18\left ( \frac{23-3x}{2} \right )={171}$
Simplifica:	$15x+9($ $-3x)=171$
Aplica propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma:	$15x+$ $=171$
Simplifica:	$x+$ $=171$
Resta $207$ en ambos lados:	$x+$ $-207=171-207$
Simplifica:	$x=$ $-36$
Divide entre $-12$ en ambos lados:	$x$ $-12$ $=$ $-12$ $\frac{-12x}{-12}=\frac{-36}{-12}$
Simplifica:	$x=$ $3$

c) Se sustituye el valor encontrado en cualquiera de las dos ecuaciones Ec.1 o Ec.2 En este caso lo harás en la Ec.1

Ecuación Ec.1	$3x+2y=23$
Valor encontrado:	$x=$ $3$
Sustituye el valor encontrado en Ec.1	$3($ $)+2y=23$
Realiza la operación:	$+2y=23$
Resta 9 en ambos lados:	$9+2y$ $=23$ $-9$
Simplifica:	$2y=$ $14$
Divide entre 2 en ambos lados:	$2y$ $=$ $\frac{2y}{2}=\frac{14}{2}$
Simplifica:	$y=$ $7$

d) Comprobación. Se sustituyen los valores encontrados $x=$ , $y=$ $7$ en cada una de las dos ecuaciones originales Ec.1 y Ec.2, para verificar que se cumplan las igualdades.

En la ecuación 1	En la ecuación 2
$3x+2y=23$	$15x+18y=171$
$3($ $)+2($ $=23$	$15($ $)+18($ $)=171$
$+$ $=23$	$+$ $=171$
$23=23$	$171=171$

Paso 4. Hacer la verificación

En este paso debes verificar que los resultados que obtuviste cumplen con las condiciones del problema.

Solución al problema de la carne

En la carnicería del supermercado se deben producir 3 lotes de carne molida popular y 7 lotes de carne molida de sirloin, utilizando toda la carne y toda la grasa sin desperdiciar nada.

Se sabe que, la carne molida popular contiene 3 kilogramos de grasa y la de sirloin contiene 2 kilogramos de grasa, además, en este momento la carnicería cuenta con 23 kilogramos de grasa; si se producen 3 lotes de carne molida popular y 7 de sirlon, entonces:

$3(3)+2(7)=9+14=23$ kilogramos de grasa

Y sabes que la carne molida popular contiene 15 kilogramos de carne roja y la de sirloin contiene 18 kilogramos de carne roja, además, en este momento la carnicería cuenta con 171 kilogramos de carne roja; si se producen 3 lotes de carne molida popular y 7 de sirlon, entonces:

$15(3)+18(7)=45+126=171$ kilogramos de carne roja.

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Problema de la inversión

Ramiro invierte en un fondo tipo A una cantidad de dinero, el cual le produce un interés del 5%. Por otra inversión, en otro fondo tipo B, obtiene un interés del 3.5%. En total invirtió $\$10,000$ y los intereses de la inversión en el fondo tipo A superan en $\$330$ a los del fondo tipo B.

¿Cuánto dinero invirtió en cada tipo de fondo?

Paso 1. Comprender el problema

Te pide encontrar cuánto dinero invirtió Ramiro en el fondo tipo A y cuánto en el fondo tipo B.

Datos	Incógnitas
• En total Ramiro invirtió $\$10,000$ • Sabes que el fondo tipo A le produce un interés del 5%. • También sabes que con la inversión en el fondo tipo B obtiene un interés del 3.5%. • Los intereses en el fondo tipo A superan en $\$330$ a los del fondo tipo B.	Sea $x$ el total de dinero que invirtió en el fondo tipo A. Sea $y$ el total de dinero que invirtió en el fondo tipo B.

Datos

Incógnitas

• En total Ramiro invirtió $\$10,000$

• Sabes que el fondo tipo A le produce un interés del 5%.

• También sabes que con la inversión en el fondo tipo B obtiene un interés del 3.5%.

• Los intereses en el fondo tipo A superan en $\$330$ a los del fondo tipo B.

Sea $x$ el total de dinero que invirtió en el fondo tipo A.

Sea $y$ el total de dinero que invirtió en el fondo tipo B.

Paso 2. Elaborar un plan

Para elaborar el plan debes plantear las relaciones algebraicas:

El total de dinero invertido en los dos fondos es de $\$10,000$

$x+y=10,000$

Por otro lado:

$0.05x$ es el interés producido por el fondo tipo A

$0.035$ es el interés producido por el fondo tipo B

Los intereses de la inversión en el fondo tipo A superan en $330 a los del fondo tipo B

$0.05x=0.035y+330$

Como puedes observar hay dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Paso 3. Ejecutar el plan

Ahora debes resolver el sistema de estas ecuaciones lineales de 2x2:

$x+y=10,000$ Ec. 1

$0.05x=0.035y+330$ Ec. 2

Resolveremos el sistema por el método de suma o resta.

a) Conviene ordenar las ecuaciones. En este caso debes ordenar la segunda ecuación, por lo que el sistema nos queda como sigue:

$x+y=10,000$ Ec. 1

$0.05x-0.035y=330$ Ec. 2

b) En el método de suma o resta debes multiplicar cada ecuación por números que igualen los coeficientes de una misma incógnita en las dos ecuaciones, para eliminar una de las incógnitas. Así obtienes ecuaciones equivalentes a las originales con lo que, al sumarlas o restarlas, se elimina esa incógnita.

En este caso debes eliminar la $y$ debido a que el signo en ambas es diferente. Multiplica la ecuación $1$ por $0.035$ . El sistema equivalente que queda es el siguiente:

$0.035x+0.035y=350$ Ec. 1

$0.05x-0.035y=330$ Ec. 2

Por suma o resta se elimina una de las incógnitas. En este caso al sumar las ecuaciones y se elimina la $y$ , por lo que queda la siguiente ecuación lineal:

$0.085x=680$

c) Resuelve la ecuación lineal resultante, para ello completa la información en los espacios correspondientes. Al finalizar da clic en Verificar para recibir retroalimentación.

Ecuación resultante	$0.085x=680$
Divide entre $0.085$ en ambos lados:	$\frac{0.085x}{0.085}=\frac{680}{0.085}$
Simplifica:	$x=8,000$

d) El valor encontrado se sustituye en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra variable.

En este caso lo sustituyes en la Ec. 1:

Sustituye $x=8,000$ en Ec. 1	$+y=10,000$
Resta $8000$ en ambos lados	$8000+y-8000=10,000-8000$
Simplifica:	$y=2,000$

Paso 4. Hacer la verificación

En este paso debes verificar que los resultados que obtuviste cumplen con las condiciones del problema, para ello completa la información en los espacios correspondientes y al finalizar da clic en Verificar para recibir retroalimentación.

Solución al problema de la inversión

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Alumno:

Matematicas 1

Problemas 2x2

Problemas que se resuelven con sistemas de ecuaciones lineales de 2x2

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