Obtención de sistemas equivalentes de 2x2: Criterio del producto cociente
En el tema anterior se revisaron los sistemas lineales equivalentes; ahora se abordarán los métodos para obtener sistemas lineales equivalentes.
A continuación se muestran dos sistemas de ecuaciones lineales de 2x2. A la izquierda se presenta el sistema de ecuaciones $\left\{ \matrix{\color{Blue}{x + y = 9} \hfill \cr \color{Green}{x - y = 3 } \hfill \cr} \right.$ y a la derecha diferentes sistemas equivalentes obtenidos a partir del primero.
Desplaza los deslizadores $\color{Red}{a}$ y $ \color{Red}{b}$ y observa los sistemas de ecuaciones que se generan, así como sus gráficas y sus soluciones.
Las ecuaciones del segundo sistema se obtienen al multiplicar las ecuaciones del sistema original por los números $\color{Red}{a}$ y $\color{Red}{b}$; observa que geométricamente ambos sistemas representan las mismas rectas en el plano y que, por lo tanto, tienen la misma solución en el punto $\color{Orange}{\left( {6,3} \right)}$. Cuando dos sistemas tienen la misma solución, entonces son sistemas equivalentes.
En el recurso anterior se obtuvieron sistemas equivalentes al multiplicar las ecuaciones del sistema original por los números $\color{Red}{a}$ y $\color{Red}{b}$, es decir:
$\left\{ \matrix{ \color{Red}{a(} \color{Blue}{x + y = 9} \color{Red}{)} \hfill \cr \color{Red}{b(} \color{Green}{x - y = 3 } \color{Red}{)} \hfill \cr} \right.$ , donde $ \color{Red}{a}$ y $ \color{Red}{b}$ son dos números diferentes de cero.
Por ejemplo, cuando $ \color{Red}{a = 1.6}$ y $ \color{Red}{b = -2}$ se obtiene el sistema equivalente:
$\left\{ \matrix{ \color{Blue}{1.6x + 1.6y = 14.4 } \hfill \cr \color{Green}{- 2x + 2y = - 6 } \hfill \cr} \right.$
Donde los valores $ \color{Orange}{x = 6}$, $ \color{Orange}{y = 3}$son solución tanto del sistema original como del sistema equivalente.
Al multiplicar las ecuaciones de un sistema de ecuaciones por dos números $\color{Red}{a}$ y $\color{Red}{b}$, ambos diferentes de cero, se obtiene un sistema equivalente.
A partir de la actividad anterior se concluye el siguiente criterio de equivalencia:
Criterio del producto o cociente
Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación de un sistema por un número distinto de cero, resulta otro sistema equivalente.
Practicando
Con base en el criterio del producto, observa los siguientes sistemas de ecuaciones e indica si son equivalentes. Selecciona la opción correcta.
Sistema 1
$\left\{ \matrix{ \color{Blue}{2x + y = 7 } \hfill \cr \color{Green}{3x + 2y = 12} \hfill \cr} \right.$
Sistema 2
$\left\{ \matrix{ \color{Blue}{4x + 2y = 14} \hfill \cr \color{Green}{- 9x - 6y = - 36 } \hfill \cr} \right.$
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- Sí son sistemas equivalentes
- No son sistemas equivalentes
Los dos sistemas sí son equivalentes ya que la Ec.1’ resulta de multiplicar la Ec.1 por 2; y la Ec.2’ se obtiene de multiplicar la Ec.2 por -3 , es decir:
Ec. 1 por 2 Ec.1’ $\color{Red}{2(}\color{Blue}{2x + y = 7}\color{Red}{)}$ $\color{Blue}{4x + 2y = 14}$ Ec. 2 por -3 Ec.2’ $ \color{Red}{-3(} \color{Green}{3x + 2y = 12}\color{Red}{)}$ $ \color{Green}{- 9x - 6y = - 36}$ Las ecuaciones Ec.1 y Ec.1’ son ecuaciones equivalentes; también lo son las ecuaciones Ec.2 y Ec.2’. Cuando dos ecuaciones son equivalentes se denotan con el mismo número de ecuación, y se distinguen entre sí mediante un apóstrofe, tal como se indica a continuación:
Ecuación original Ecuación equivalente a la original $\color{Blue}{2x + y = 7}$ Ec. 1
$\color{Green}{3x + 2y = 12}$ Ec. 2
$\color{Blue}{4x + 2y = 14}$ Ec.1’
$ \color{Green}{- 9x - 6y = - 36}$ Ec.2’
A continuación revisa el siguiente recurso GeoGebra sobre el Criterio del producto o cociente y desplaza los deslizadores $a$ y $b$. Observa las gráficas de las ecuaciones equivalentes obtenidas al aplicar el criterio del producto.
Las ecuaciones equivalentes obtenidas mediante el criterio del producto, ¿tienen la misma o diferente representación gráfica?
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- Tienen diferente representación gráfica
- Tienen la misma representación gráfica
Las ecuaciones equivalentes tienen la misma representación gráfica. Observa que al multiplicar o dividir todos los elementos de una ecuación por un número diferente de cero, se generan ecuaciones equivalentes cuyas gráficas son idénticas a la gráfica de la ecuación original.