Las actividades que realizaste con anterioridad te permitieron comprender el significado de las potencias, la deducción de sus leyes con exponente entero y su operatividad. En este apartado estudiarás la operación inversa de la potenciación, llamada radicación, su representación simbólica es una potencia con exponente fraccionario.
Pero antes, revisa el siguiente esbozo histórico sobre la radicación.
La radicación es la operación que consiste en determinar un número llamado raíz que multiplicado tantas veces como lo especifica el índice, da como resultado el número que se encuentra en el radical (radicando). En el siguiente escenario puedes comprobar cómo ocurre esto para casos particulares, que te permitirán su generalización a través del método inductivo. Para ello, arrastra los deslizadores y notarás que se obtiene un radical que tiene como radicando a y como índice n, así como, su raíz, tal como lo puedes apreciar en el recurso GeoGebra.
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Con el recurso GeoGebra comprendiste que la radicación es la operación que consiste en multiplicar la raíz por sí misma las veces que indica el índice del radical, además, cuando el radicando es positivo la raíz es positiva con índice par o impar, sin embargo, cuando el radicando es negativo, sólo tiene raíz negativa para índice impar, mientras que, para índice par, la raíz no existe y cuando el radicando es cero, la raíz es cero para índice par e impar.
Ahora revisa los siguientes ejemplos en los que se aplica esta ley:
Es importante mencionar que para obtener las raíces de los radicales propuestos es conveniente representar al radicando como potencias de sus factores primos y extraer la raíz, según corresponda.
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√25=√(5)2=5, ya que 52=25
| 25 | Factores primos |
| 5 | 5 |
| 1 | 5 |
25=52
3√64=3√43=4, puesto que 43=64
| 64 | Factores primos |
| 32 | 2 |
| 16 | 2 |
| 8 | 2 |
| 4 | 2 |
| 2 | 2 |
| 1 | 2 |
64=26=((2)2)3=43
4√81=4√34=3, puesto que 34=81
| 81 | Factores primos |
| 27 | 3 |
| 9 | 3 |
| 3 | 3 |
| 1 | 3 |
81=34
5√−3125=5√−55=−5, puesto que −55=−3125
| 3125 | Factores primos |
| 625 | 5 |
| 125 | 5 |
| 25 | 5 |
| 5 | 5 |
| 1 | 5 |
−3125=−55
De acuerdo con los ejemplos presentados el procedimiento para obtener la raíz del radicando a, éste se escribe como una potencia de exponente igual al índice del radical. Ahora como la raíz y la potencia son operaciones inversas, el índice del radical y el exponente de la potencia se neutralizan y la raíz es la base de la potencia. La generalización, para la extracción de la raíz n enésima del radicando a, es mediante la expresión algebraica es n√a=b, ya que a=bn.
Puedes observar que las raíces obtenidas son perfectas (tienen raíz n-enésima exacta), sin embargo, también existen radicales cuyas raíces no son exactas, los siguientes ejemplos ilustran los procedimientos para determinar raíces cuadradas enteras y la última incluye decimales.
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