Problema de la caminadora

Carla está entrenando en una caminadora; si fija la velocidad para un esfuerzo constante de 12 kilómetros por hora y realiza el ejercicio durante 40 minutos a este ritmo.

¿Cuántos kilómetros habrá recorrido al terminar el tiempo de entrenamiento? ¿En qué momento habrá recorrido 6 km? Si continuara corriendo al mismo ritmo, ¿cuánto tiempo le llevaría completar 15 kilómetros de entrenamiento?

Para responder estas preguntas y resolver el problema, sigue las instrucciones y resuelve lo que se pide.

Ejercicio de arrastrar

Este ejercicio sólo está disponible para la versión de escritorio.

Arrastra las expresiones que aparecen a continuación para ubicarlas en la columna que corresponda: datos, incógnitas o expresión algebraica.

Arrastra

$d$
$t$
$t=0, d=0$
$t=1h, d=12km$
$v = \frac {d} {t}$
$v=12km/h$

Datos

Incógnitas

Expresión algebraica

Reflexiona brevemente sobre esta información

Datos

Velocidad constante: $12 km/h$
En $t=0$ la distancia es $d=0 km$
En $t=1$ la distancia es $d=12$

En el problema se plantean las siguientes expresiones:
- Sabemos que al iniciar el entrenamiento $(t=0)$ Carla no habrá recorrido ninguna distancia en la caminadora $(d=0)$ .
- Al fijar la velocidad de la caminadora a $12 km/h$ sabemos que, al cabo de 60 minutos $(t=60)$ , habrá recorrido 12 kilómetros $(d=12)$ .

Incógnitas

En todo momento, las preguntas se plantean utilizando tiempo $(t)$ y distancia $(d)$

¿Cuántos kilómetros $(d)$ habrá recorrido al terminar el tiempo de entrenamiento de $t=40$ minutos?
¿En qué momento $(t)$ habrá recorrido 6km $(d)$ ?
¿Cuánto tiempo $(t)$ le llevaría completar $(d)$ 15 kilómetros de entrenamiento?

Expresión algebraica

Partir de la definición de (magnitud) de velocidad:
$v = \frac {d}{t}$
Al despejar d: $d = vt$

Piensa en una relación que involucre la magnitud de la velocidad, la distancia y el tiempo. Recuerda que la velocidad se expresa como unidades de distancia divididas entre unidades de tiempo.

Las opciones correctas se han marcado en color verde, las incorrectas en color rojo.

Ejercicio de escribir

Ahora responde la pregunta y escribe tu respuesta en el siguiente espacio. Al finalizar da clic en Verificar para recibir retroalimentación.

¿Qué significa que Carla lleve una velocidad de 12 kilómetros por hora en la caminadora?

Recuerda que, al correr, la velocidad se expresa en “kilómetros por hora” (esto significa cuantos kilómetros se desplaza el vehículo por cada hora de recorrido) y se expresa como $\tfrac {km}{h}$ . Otras unidades que se usan son metros por segundo $\tfrac {m}{s}$ , metros por hora $\tfrac {m}{h}$ , metros por minuto $\tfrac {m}{min}$ , kilómetros por minuto $\tfrac {km}{min}$ , etc.; en todas ellas el numerador es una unidad de distancia y el denominador es una unidad de tiempo.

En este ejemplo, la velocidad $(v)$ es un dato conocido y se indica que es constante, mientras que distancia y tiempo son incógnitas. Como las primeras preguntas nos plantean que se desea conocer la distancia que se recorre en un determinado tiempo, propondremos como variable dependiente a la distancia $(d)$ y como variable independiente al tiempo $(t)$ .

A continuación, revisa el recurso GeoGebra Velocidad y sigue las instrucciones para realizar una aproximación por tanteo.

Otro dato que podemos rescatar del planteamiento del problema tiene que ver con la razón de cambio dada, que corresponde a la relación que existe entre la distancia recorrida dividida entre el tiempo. En este caso, esta razón de cambio (parámetro lineal $a$ ) se conoce como velocidad $(v)$ :

$m = v = 12 \tfrac {km}{min}$

$=\frac {12}{60} \tfrac {km}{min}$

$= 0.2 \tfrac {km}{min}$

Ejercicio de escribir

Ahora contesta lo que se solicita y escribe tu respuesta en los espacios correspondientes. Al finalizar da clic en Verificar para recibir retroalimentación.

Calcula la distancia que recorrerá la atleta en 40 minutos.

Sugerencia: para ello, considera $v=d/t$ , despeja la distancia y sustituye datos, es decir,	$\frac {d}{t} = 0.2$
*Despejando la distancia:	$d = 0.2t$
A partir de esta fórmula, podemos calcular directamente cuál es la distancia que recorrerá la atleta al completar 40 minutos de entrenamiento:	$d=0.2($ $)=$ $d=0.2(40)=8$
En este caso: la variable dependiente es $d$ (depende del valor del tiempo), la variable independiente es $t$ y la razón de cambio es $0.2 km/min$ .
A partir de la distancia $d=0.2t$ , calcula en qué momento habrá recorrido 6 km.	min. $30min.$
Recuerda despejar la incógnita $(tiempo$ $t=5d)$
Si continuara corriendo al mismo ritmo, ¿qué tiempo le llevaría completar 15 kilómetros de entrenamiento?	min. $75min.$

La correspondencia entre las variables dependiente e independiente del ejemplo también puede representarse con la expresión $y=mx$ :

Donde:

Variable independiente $t$ : la que se fija previamente. Cuando hablamos del sistema cartesiano, nos referimos a la ubicada en el eje de las abscisas.

Variable dependiente $d$ : La que se obtiene de la variable independiente, usualmente al despejarla de la expresión matemática que relaciona ambas variables. Cuando hablamos del sistema cartesiano, nos referimos a la ubicada en el eje de las ordenadas.

Razón de cambio: $m$ el parámetro lineal de la función $v= mt$ .

La expresión que modela la distancia que recorrió Carla, nuestra atleta de este ejercicio, es $v=0.2t$ .
Esta expresión es una función lineal. Así:

Función lineal: $d=0.2 t$
Razón de cambio: $0.2$
Variable independiente: $t$
Variable dependiente: $d$

Hay algunos casos en los que existe una condición inicial. Por ejemplo, si Carla, la atleta del ejercicio anterior, hubiera corrido previamente 10 kilómetros al iniciar su rutina en la escaladora, modelaríamos la distancia recorrida en la caminadora como:

$d=0.2t+1 0$

Donde este 10 corresponde al recorrido previo realizado por la atleta.

Si la corredora no tuviera un recorrido previo, la distancia sería $d = 0.2t {\color{Gray}{+0}}$

Si modelamos esta expresión como una generalidad en el plano cartesiano $xy$ , quedan expresiones del tipo:

$y=m x+b$

Cuando la condición inicial $b$ es igual a cero, la función lineal presenta el caso particular $y=mx.$

$b$ es el punto de corte de la recta con el eje y (condición inicial o parámetro independiente).

A continuación, revisa el recurso GeoGebra Distancia y sigue las instrucciones para completar los espacios faltantes.

Observa que la gráfica $d=0.2t+10$ se desplaza hacia arriba al introducir una cantidad inicial de 10 kilómetros de recorrido, pero se mantiene paralela a la función lineal $d=0.2t$ .

Recupera la condición inicial $(0, b)$ , observa que cuando la condición inicial es igual a $0$ se trata de una variación directa.

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Ejercicio de escribir

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